Se (2 + i)/(???? + 2i) tem parte imaginária igual a zero, então o número real ???? é igual a a) 4 b) 2 c) 1 d) -2 e) -4

Para que a parte imaginária da fração \((2 + i)/(x + 2i)\) seja igual a zero, precisamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é \((x - 2i)\). Fazendo isso, temos: \[ \frac{(2 + i)(x - 2i)}{(x + 2i)(x - 2i)} = \frac{(2x - 4 + ix + 2)}{x^2 + 4} \] O denominador \(x^2 + 4\) é sempre positivo, então focamos no numerador: \[ 2x - 4 + ix + 2 \] Separando as partes real e imaginária, temos: Parte real: \(2x - 4 + 2\) Parte imaginária: \(x\) Para que a parte imaginária seja igual a zero, devemos ter: \[ x = 0 \] No entanto, precisamos que a parte real também seja igual a zero para que a fração não tenha parte imaginária. Assim, resolvemos: \[ 2x - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1 \] Portanto, a resposta correta é: c) 1.