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Cálculo Numérico

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Ao estudar matemática financeira, o professor de Luiz comentou que para determinar o prazo em um financiamento no sistema Price é necessário utilizar um método numérico.
O professor de Luiz passou o seguinte problema: suponha que um financiamento no sistema Price no valor de R$ 20.000,00 está aplicado a uma taxa de 2% ao mês e o valor de cada parcela seja de R$ 609,05, determine o prazo desse financiamento. Luiz, lembrando o que seu professor falou em sala, resolveu usar o Método da Bissecção para encontrar o prazo. Luiz fez as seguintes anotações:
A 55 e 52,5.
B 53,75 e 54,375.
C 53,75 e 54,0625.
D 52,5 e 53,75.
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Avaliação Objetiva - Cálculo Numérico MAT28
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Avaliação Objetiva - Cálculo Numérico MAT28

UNIASSELVI

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há 11 meses

Para resolver o problema do financiamento no sistema Price utilizando o Método da Bissecção, precisamos entender que esse método é usado para encontrar raízes de funções, e no caso do financiamento, estamos buscando o prazo que iguala o valor presente das parcelas ao valor do financiamento. Vamos analisar as anotações de Luiz: - A: 55 e 52,5 - B: 53,75 e 54,375 - C: 53,75 e 54,0625 - D: 52,5 e 53,75 O Método da Bissecção envolve escolher um intervalo onde a função muda de sinal (ou seja, onde uma raiz pode estar). O intervalo deve ser reduzido pela metade a cada iteração. Para determinar qual intervalo é mais apropriado, precisamos considerar que o prazo deve ser um número razoável para um financiamento. Normalmente, prazos de 52,5 a 55 meses são muito longos, enquanto prazos entre 52,5 e 53,75 parecem mais razoáveis. Analisando as opções, a alternativa D (52,5 e 53,75) parece ser a mais adequada, pois é um intervalo menor e mais próximo de um prazo típico de financiamento. Portanto, a resposta correta é: D) 52,5 e 53,75.

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Usando o método de Gauss-Seidel, podemos resolver sistemas lineares com uma aproximação da solução. O sistema linear AX = B foi resolvido com o método de Gauss-Seidel e foi encontrada a seguinte tabela:
a) x = 3,125 e y = 3,0625.
b) x = 0,625 e y = 1,0625.
c) x = 1,875 e y = 0,9375.
d) x = 0,25 e y = 0,3125.

Quando se torna inviável resolver uma equação diferencial ordinária, lançamos mão dos métodos numéricos para encontrar uma aproximação f a esta solução y. O método de Euler é um destes métodos numéricos. Neste contexto, considere a EDO dada por y' = y - x definida no intervalo [0, 1] tal que y(0) = 2. Tomando h = 0,2, a equação de iteração é:
A Somente a opção I está correta. B Somente a opção III está correta. C Somente a opção IV está correta. D Somente a opção II está correta.

Quando efetuamos a análise de um Sistema de Equações Lineares, deparamos com situações diversas, as quais se classificam em: possível e determinado, possível e indeterminado, indeterminado, convergente ou divergente. Para verificar se um Sistema de Equações Lineares é Convergente ou Divergente, existem dois critérios. O primeiro se chama Critério de Linhas, que diz o seguinte: para cada linha k da matriz de coeficientes de um sistema, considere a soma dos elementos desta linha em seus valores absolutos com exceção do valor que pertence à diagonal principal, tendo em vista que esse valor irá dividir a soma. Realizando este processo para todas as linhas, é necessário verificar se o maior deles é menor do que a unidade. Se for, a sequência de elementos que encontraremos no processo de iteração converge para a solução do sistema. O segundo critério recebe o nome Sassenfeld, ou seja, Gauss-Seidel, que também gera uma sequência (x^k) convergente para a solução do sistema, independentemente da escolha da aproximação inicial xº. Além disso, quanto menor for o valor adotado para B, mais rápida será a convergência.
Considerando o critério de linhas, método de Jacobi e ao mesmo tempo, o método de Gauss-Seidel, critério de Sassenfeld, verifique se a solução do sistema linear dado pelas equações:
a) O sistema é convergente e divergente ao mesmo tempo.
b) O sistema não satisfaz o critério das linhas, mas, no entanto, satisfaz o critério de Sassenfeld; portanto, a convergência está garantida.
c) O sistema satisfaz o critério de linhas, convergência garantida.
d) O sistema não satisfaz o critério de linhas, convergência não garantida.

A equação diferencial ordinária (ou EDO) é um estudo da matemática e em particular da análise. Trata-se de uma equação que envolve as derivadas de uma função desconhecida de uma variável.
Sobre Equações Diferenciais Ordinárias, analise as sentenças a seguir:
I- Para uma mesma equação diferencial, existem várias soluções possíveis.
II- Chamamos de Problema de Valor Inicial (PVI) a equação diferencial da qual conhecemos o seu valor inicial.
III- O Teorema de Existência e Unicidade (TEU) garante que todas as equações diferenciais apresentam uma única solução.
IV- Os Problemas de Valor Inicial (PVI) sempre têm solução, ao contrário dos Problemas de Valor de Contorno (PVC).
A As sentenças II e III estão corretas.
B As sentenças III e IV estão corretas.
C As sentenças I e II estão corretas.
D As sentenças I e IV estão corretas.

Para resolver um sistema linear através do método iterativo podemos usar o método da iteração linear. No entanto, no caso de equações não lineares, nem sempre é possível aplicar o método. Para podermos aplicar o método, precisamos que ele satisfaça três condições, sendo que uma delas é que as derivadas parciais das funções F e G satisfaçam os itens.
a) Os itens I e II são satisfeitos.
b) Somente o item I é satisfeito.
c) Somente o item II é satisfeito.
d) Os itens I e II não são satisfeitos.

Com relação à integração numérica, o método 1/3 de Simpson Generalizado consiste em aplicar o método de Simpson tantas vezes quantas forem os pontos em que conheçamos o valor da função f.
Consideremos então o intervalo [1, 5], e vamos aplicar este método para a função f, supondo n = 4. Se utilizarmos 4 casas decimais nos cálculos, o valor encontrado para a integral numérica de f(x) = ln(x) será: Atenção: h = (b-a)/n
A O valor encontrado para a integral será 4,8746.
B O valor encontrado para a integral será 6,2832.
C O valor encontrado para a integral será 6,1248.
D O valor encontrado para a integral será 4,0414.

As equações do segundo grau, ao serem resolvidas, podem apresentar duas raízes reais e distintas, duas raízes reais e iguais ou, ainda, não apresentar raízes reais.
Determine o valor de m para que a equação x(x-4) + (m+1) = 0 apresente duas raízes reais e iguais.
a) O valor de m é 5.
b) O valor de m é 4.
c) O valor de m é 3.
d) O valor de m é 6.

Uma equação não linear é uma equação que contenha termos da forma x², x³, termos com raiz entre outros. Um sistema de equações é dito não linear se pelo menos uma das equações não é linear. Para resolver um sistema não linear, usamos processos interativos. Considere o sistema linear: f(x,y)=0 g(x,y)=0 onde, f ou g são funções não lineares. Com relação aos processos interativos usados para encontrar a solução dos sistemas não lineares, analise as sentenças a seguir:
I- Para aplicar o método da Interação Linear, precisamos encontrar as funções F e G (chamadas de funções de interação) que satisfazem F(x,y) = x e G(x,y) = y de tal forma que sejam contínuas e suas derivadas parciais também são contínuas.
II- Para aplicar o método de Newton, temos que considerar que f e g sejam contínuas, mas não é necessário que suas derivadas primeiras e segundas sejam também contínuas.
III- Para o método de Interação Linear, podemos considerar qualquer ponto inicial (x0, y0), não é preciso estar próximo da solução.
IV- Para o método de Newton, temos que considerar o ponto inicial (x0, y0) próximo da solução.
a) II e III.
b) II e IV.
c) I e IV.
d) I e III.

Em uma loja de material escolar, as mercadorias caneta, lápis e borracha, de ENADE, 2014 um único tipo, cada uma, são vendidas para três estudantes. O primeiro comprou uma caneta, três lápis e duas borrachas pagando R$ 10,00; o segundo adquiriu duas canetas, um lápis e uma borracha pagando R$ 9,00; o terceiro comprou três canetas, quatro lápis e três borrachas pagando R$ 19,00. Os estudantes, após as compras, sem verificarem os valores de cada mercadoria, procuraram resolver o problema: " A partir das compras efetuadas e dos respectivos valores totais pagos por eles, qual o preço da caneta, do lápis e da borracha?"
Para isso, montaram um sistema de equações lineares cujas incógnitas são os preços das mercadorias. Esse sistema de equações é:
A possível determinado, sendo o preço da borracha mais caro que o do lápis.
B impossível, pois saber os totais das compras não garante a existência de solução.
C possível determinado, podendo admitir como solução, o valor do preço da caneta, do lápis e da borracha.
D possível indeterminado, de forma que a soma dos valores possíveis da caneta, do lápis e da borracha é igual a 1/5 da adição do preço da borracha com R$ 28,00.

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