Para calcular a integral dupla da função \( f(x,y) = x^2 + y^2 \) sobre a região retangular \( R = [-1, 2] \times [1, 3] \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Definir a integral dupla: \[ \iint_R (x^2 + y^2) \, dA = \int_{-1}^{2} \int_{1}^{3} (x^2 + y^2) \, dy \, dx \] 2. Calcular a integral interna (em relação a \( y \)): \[ \int_{1}^{3} (x^2 + y^2) \, dy = \int_{1}^{3} x^2 \, dy + \int_{1}^{3} y^2 \, dy \] - A primeira parte: \[ \int_{1}^{3} x^2 \, dy = x^2 \cdot (3 - 1) = 2x^2 \] - A segunda parte: \[ \int_{1}^{3} y^2 \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} \] Portanto, a integral interna resulta em: \[ \int_{1}^{3} (x^2 + y^2) \, dy = 2x^2 + \frac{26}{3} \] 3. Calcular a integral externa (em relação a \( x \)): \[ \int_{-1}^{2} \left( 2x^2 + \frac{26}{3} \right) \, dx = \int_{-1}^{2} 2x^2 \, dx + \int_{-1}^{2} \frac{26}{3} \, dx \] - A primeira parte: \[ \int_{-1}^{2} 2x^2 \, dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} = 2 \left( \frac{8}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) \right) = 2 \left( \frac{8}{3} + \frac{1}{3} \right) = 2 \cdot \frac{9}{3} = 6 \] - A segunda parte: \[ \int_{-1}^{2} \frac{26}{3} \, dx = \frac{26}{3} \cdot (2 - (-1)) = \frac{26}{3} \cdot 3 = 26 \] 4. Somar os resultados: \[ 6 + 26 = 32 \] Parece que houve um erro na interpretação da função ou na região, pois o resultado não está entre as opções. Vamos revisar a função e a região. Se a função for \( f(x,y) = 1 \) (ou outra função que não foi claramente especificada), o resultado pode variar. Porém, com base na função \( f(x,y) = x^2 + y^2 \) e a região dada, o resultado da integral não corresponde a nenhuma das opções. Por favor, verifique a função ou a região novamente. Se precisar de mais ajuda, você tem que criar uma nova pergunta.