Para encontrar a distância focal da elipse dada pela equação \(4x^2 + 25y^2 - 16x + 200y + 316 = 0\), precisamos primeiro reescrever a equação na forma padrão da elipse. 1. Reorganizar a equação: Vamos agrupar os termos de \(x\) e \(y\): \[ 4x^2 - 16x + 25y^2 + 200y + 316 = 0 \] 2. Completar o quadrado: - Para \(x\): \[ 4(x^2 - 4x) = 4((x - 2)^2 - 4) = 4(x - 2)^2 - 16 \] - Para \(y\): \[ 25(y^2 + 8y) = 25((y + 4)^2 - 16) = 25(y + 4)^2 - 400 \] 3. Substituir na equação: \[ 4((x - 2)^2 - 4) + 25((y + 4)^2 - 16) + 316 = 0 \] \[ 4(x - 2)^2 - 16 + 25(y + 4)^2 - 400 + 316 = 0 \] \[ 4(x - 2)^2 + 25(y + 4)^2 - 100 = 0 \] \[ 4(x - 2)^2 + 25(y + 4)^2 = 100 \] 4. Dividir por 100: \[ \frac{4(x - 2)^2}{100} + \frac{25(y + 4)^2}{100} = 1 \] \[ \frac{(x - 2)^2}{25} + \frac{(y + 4)^2}{4} = 1 \] 5. Identificar os parâmetros da elipse: - A forma padrão da elipse é \(\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1\), onde \(a^2 = 25\) e \(b^2 = 4\). - Portanto, \(a = 5\) e \(b = 2\). 6. Calcular a distância focal: A distância focal \(c\) é dada pela fórmula: \[ c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21} \approx 4,58 \] A distância focal é a distância entre os focos, que é \(2c\): \[ 2c \approx 2 \times 4,58 \approx 9,16 \] Assim, a resposta correta, arredondando, é a alternativa B) 9.