Calcule o valor de \( \int_0^1 (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) \, dx \). a) \( 1 \) b) \( 2 \) c) \( 3 \) d) \( 4 \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) \, dx \), primeiro podemos observar que a expressão dentro da integral é um polinômio. Podemos integrar cada termo separadamente: 1. \( \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} \) 2. \( \int 4x^3 \, dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 \) 3. \( \int 6x^2 \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3 \) 4. \( \int 4x \, dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2 \) 5. \( \int 1 \, dx = x \) Agora, somando todas as integrais, temos: \[ \int (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) \, dx = \frac{x^5}{5} + x^4 + 2x^3 + 2x^2 + x \] Agora, precisamos avaliar essa expressão de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \left[ \frac{1^5}{5} + 1^4 + 2 \cdot 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 1 \right] - \left[ \frac{0^5}{5} + 0^4 + 2 \cdot 0^3 + 2 \cdot 0^2 + 0 \right] \] Calculando para \( x = 1 \): \[ \frac{1}{5} + 1 + 2 + 2 + 1 = \frac{1}{5} + 6 = \frac{1 + 30}{5} = \frac{31}{5} = 6.2 \] Portanto, a integral de \( 0 \) a \( 1 \) resulta em \( 6.2 \), mas isso não está nas opções. Vamos verificar se a expressão original pode ser simplificada. Na verdade, a expressão \( x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 \) é igual a \( (x + 1)^4 \). Assim, podemos reescrever a integral como: \[ \int_0^1 (x + 1)^4 \, dx \] Agora, integramos: \[ \int (x + 1)^4 \, dx = \frac{(x + 1)^5}{5} \] Avalie de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \left[ \frac{(1 + 1)^5}{5} \right] - \left[ \frac{(0 + 1)^5}{5} \right] = \frac{2^5}{5} - \frac{1^5}{5} = \frac{32}{5} - \frac{1}{5} = \frac{31}{5} = 6.2 \] Parece que houve um erro na interpretação das opções. A integral correta é \( 6.2 \), mas não está entre as opções. Por favor, verifique se as opções estão corretas ou se a integral foi formulada corretamente.