Para calcular \( \sin(2\theta) \) usando a fórmula do ângulo duplo, temos: \[ \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) \] Sabemos que \( \sin(\theta) = \frac{1}{3} \). Agora, precisamos encontrar \( \cos(\theta) \). Usamos a identidade pitagórica: \[ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \] Substituindo \( \sin(\theta) \): \[ \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2(\theta) = 1 \] \[ \frac{1}{9} + \cos^2(\theta) = 1 \] \[ \cos^2(\theta) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] Portanto, \( \cos(\theta) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \) (considerando o valor positivo, já que não foi especificado o quadrante). Agora, substituímos \( \sin(\theta) \) e \( \cos(\theta) \) na fórmula de \( \sin(2\theta) \): \[ \sin(2\theta) = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9} \] Analisando as alternativas, a resposta correta não está listada. No entanto, se a opção correta fosse \( \frac{4\sqrt{2}}{9} \), ela não está entre as opções apresentadas. Portanto, a resposta correta para \( \sin(2\theta) \) é \( \frac{4\sqrt{2}}{9} \), mas como não está nas opções, você pode verificar se houve algum erro nas alternativas.