Se z = 3 + 4i, qual é o valor de z^2 + \overline{z}^2? A) \( 25 \) B) \( 50 \) C) \( 10 \) D) \( 20 \)

Para resolver a questão, vamos calcular \( z^2 \) e \( \overline{z}^2 \). Dado \( z = 3 + 4i \), a conjugada de \( z \) é \( \overline{z} = 3 - 4i \). 1. Calculando \( z^2 \): \[ z^2 = (3 + 4i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4i + (4i)^2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i \] 2. Calculando \( \overline{z}^2 \): \[ \overline{z}^2 = (3 - 4i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4i + (4i)^2 = 9 - 24i - 16 = -7 - 24i \] 3. Somando \( z^2 \) e \( \overline{z}^2 \): \[ z^2 + \overline{z}^2 = (-7 + 24i) + (-7 - 24i) = -14 \] Agora, precisamos calcular \( z^2 + \overline{z}^2 \) em termos de módulo: \[ z^2 + \overline{z}^2 = -14 \] No entanto, a questão pede o valor de \( z^2 + \overline{z}^2 \) em termos de um número real. O resultado é \( -14 \), que não está nas opções. Parece que houve um erro na interpretação da questão. Vamos verificar as opções novamente. Nenhuma das opções corresponde ao resultado obtido. Por favor, verifique se a questão ou as opções estão corretas.