Se z = 3e^{irac{rac{ ext{pi}}{6}}}, qual é a forma cartesiana de z? a) \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i b) 3 + 0i c) 0 + 3i d) -3 + 0i

Para encontrar a forma cartesiana de \( z = 3e^{i\frac{\pi}{6}} \), podemos usar a fórmula de Euler, que nos diz que \( e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \). 1. Primeiro, identificamos \( \theta = \frac{\pi}{6} \). 2. Calculamos \( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \) e \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \): - \( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) - \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \) 3. Agora, substituímos na fórmula de Euler: \[ z = 3\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = 3\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) \] 4. Multiplicamos: \[ z = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \cdot i \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i \] Portanto, a forma cartesiana de \( z \) é \( \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i \). A alternativa correta é: a) \(\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i\).