Sabemos que z^3 + 1 = 0. Quais são as raízes? a) 1 + i b) 1 + \frac{\sqrt{3}}{1}i c) -1 + i\sqrt{3} d) Negativos na estrutura anterior

Para resolver a equação \( z^3 + 1 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^3 = -1 \). As raízes cúbicas de \(-1\) podem ser encontradas utilizando a forma polar ou a fórmula de De Moivre. Sabemos que \(-1\) pode ser representado na forma polar como \( 1(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) \). As raízes cúbicas são dadas por: \[ z_k = r^{1/3} \left( \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right) \] onde \( r = 1 \), \( \theta = \pi \), \( n = 3 \) e \( k = 0, 1, 2 \). Calculando as raízes: 1. Para \( k = 0 \): \[ z_0 = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \] 2. Para \( k = 1 \): \[ z_1 = \cos\left(\frac{\pi + 2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 2\pi}{3}\right) = -1 \] 3. Para \( k = 2 \): \[ z_2 = \cos\left(\frac{\pi + 4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \] Assim, as raízes são: - \( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \) - \( -1 \) - \( -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \) Analisando as alternativas: a) \( 1 + i \) - Não é uma raiz. b) \( 1 + \frac{\sqrt{3}}{1}i \) - Não é uma raiz. c) \( -1 + i\sqrt{3} \) - Não é uma raiz. d) Negativos na estrutura anterior - Refere-se a \( -1 \) e \( -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \), que são raízes. Portanto, a alternativa correta é: d) Negativos na estrutura anterior.