Para resolver a integral \(\int x^2 \cos(x) \, dx\), podemos usar o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Vamos escolher: - \(u = x^2\) (então \(du = 2x \, dx\)) - \(dv = \cos(x) \, dx\) (então \(v = \sin(x)\)) Aplicando a fórmula: \[ \int x^2 \cos(x) \, dx = x^2 \sin(x) - \int \sin(x) \cdot 2x \, dx \] Agora precisamos calcular \(\int 2x \sin(x) \, dx\) novamente usando integração por partes. Vamos escolher: - \(u = 2x\) (então \(du = 2 \, dx\)) - \(dv = \sin(x) \, dx\) (então \(v = -\cos(x)\)) Aplicando a fórmula novamente: \[ \int 2x \sin(x) \, dx = -2x \cos(x) - \int -2 \cos(x) \, dx = -2x \cos(x) + 2 \sin(x) \] Substituindo de volta na primeira integral: \[ \int x^2 \cos(x) \, dx = x^2 \sin(x) - (-2x \cos(x) + 2 \sin(x)) \] Simplificando: \[ \int x^2 \cos(x) \, dx = x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) - 2 \sin(x) + C \] Agora, analisando as alternativas: a) \(x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) + C\) b) \(x^2 \sin(x) - 2x \cos(x) + C\) c) \(x^2 \sin(x) + \cos(x) + C\) d) \(x^2 \sin(x) - \cos(x) + C\) A alternativa correta, que corresponde ao resultado que encontramos, é a) \(x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) + C\).