Qual dos seguintes vetores são colineares com o vetor u⃗ (2 ,−3 )? (A) v⃗ (−1 ,2 ) (B) w⃗ (1 ,−3 ) (C) t⃗ (6 ,−9 ) (D) r⃗ (6 ,−6 )

Para determinar quais vetores são colineares com o vetor \( \vec{u} (2, -3) \), precisamos verificar se eles são múltiplos escalares de \( \vec{u} \). Dois vetores \( \vec{u} (a, b) \) e \( \vec{v} (c, d) \) são colineares se existe um escalar \( k \) tal que: \[ \vec{v} = k \cdot \vec{u} \] Vamos analisar cada alternativa: (A) \( \vec{v} (-1, 2) \): Para ser colinear, deve existir \( k \) tal que: \[ (-1, 2) = k \cdot (2, -3) \] Isso resulta em: \[ -1 = 2k \quad \text{e} \quad 2 = -3k \] Resolvendo, temos \( k = -\frac{1}{2} \) e \( k = -\frac{2}{3} \). Não são iguais, então não são colineares. (B) \( \vec{w} (1, -3) \): Verificando: \[ (1, -3) = k \cdot (2, -3) \] Isso resulta em: \[ 1 = 2k \quad \text{e} \quad -3 = -3k \] Resolvendo, temos \( k = \frac{1}{2} \) e \( k = 1 \). Não são iguais, então não são colineares. (C) \( \vec{t} (6, -9) \): Verificando: \[ (6, -9) = k \cdot (2, -3) \] Isso resulta em: \[ 6 = 2k \quad \text{e} \quad -9 = -3k \] Resolvendo, temos \( k = 3 \) e \( k = 3 \). São iguais, então são colineares. (D) \( \vec{r} (6, -6) \): Verificando: \[ (6, -6) = k \cdot (2, -3) \] Isso resulta em: \[ 6 = 2k \quad \text{e} \quad -6 = -3k \] Resolvendo, temos \( k = 3 \) e \( k = 2 \). Não são iguais, então não são colineares. Portanto, a única alternativa que é colinear com o vetor \( \vec{u} \) é a opção (C) \( \vec{t} (6, -9) \).