Problema 60: Encontre o valor de \(\int_0^1 (2x^3 - x^2 + 1) \, dx\). a) \(\frac{1}{4}\) b) \(\frac{1}{3}\)

Para resolver a integral \(\int_0^1 (2x^3 - x^2 + 1) \, dx\), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. A integral de \(2x^3\) é \(\frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4\). 2. A integral de \(-x^2\) é \(-\frac{1}{3}x^3\). 3. A integral de \(1\) é \(x\). Agora, somamos as integrais: \[ \int (2x^3 - x^2 + 1) \, dx = \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + x \] Agora, avaliamos de \(0\) a \(1\): \[ \left[\frac{1}{2}(1)^4 - \frac{1}{3}(1)^3 + (1)\right] - \left[\frac{1}{2}(0)^4 - \frac{1}{3}(0)^3 + (0)\right] \] Isso simplifica para: \[ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 1 \] Agora, precisamos de um denominador comum para somar: \[ \frac{1}{2} = \frac{3}{6}, \quad -\frac{1}{3} = -\frac{2}{6}, \quad 1 = \frac{6}{6} \] Portanto: \[ \frac{3}{6} - \frac{2}{6} + \frac{6}{6} = \frac{3 - 2 + 6}{6} = \frac{7}{6} \] Como nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a \(\frac{7}{6}\), parece que houve um erro nas opções. Você pode verificar se as alternativas estão corretas ou se há mais informações.