Problema 54: Determine a derivada de f(x) = x^3 e^{x}. a) 3x^2 e^{x} + x^3 e^{x} b) e^{x}(3x^2 + x^3) c) 3x^2 e^{x} + x^3 e^{x} d) x^2 e^{x}(3 + x)

Para determinar a derivada da função \( f(x) = x^3 e^{x} \), precisamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ (fg)' = f'g + fg' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = x^3 \) e \( v(x) = e^{x} \) Calculando as derivadas: - \( u'(x) = 3x^2 \) - \( v'(x) = e^{x} \) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' = (3x^2)(e^{x}) + (x^3)(e^{x}) \] Isso pode ser reescrito como: \[ f'(x) = 3x^2 e^{x} + x^3 e^{x} \] Agora, podemos observar as alternativas: a) \( 3x^2 e^{x} + x^3 e^{x} \) - Correto! b) \( e^{x}(3x^2 + x^3) \) - Esta é uma forma equivalente, mas não é a mesma expressão. c) \( 3x^2 e^{x} + x^3 e^{x} \) - Correto! (mesma como a alternativa a) d) \( x^2 e^{x}(3 + x) \) - Esta é uma forma diferente e não está correta. Portanto, as alternativas corretas são a) e c), mas se você precisa escolher apenas uma, a) é a primeira correta.