Para resolver a equação diferencial \(y' + y = \sin(x)\), vamos usar o método do fator integrante. 1. A equação é da forma \(y' + P(x)y = Q(x)\), onde \(P(x) = 1\) e \(Q(x) = \sin(x)\). 2. O fator integrante é dado por \(e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int 1 \, dx} = e^{x}\). 3. Multiplicamos toda a equação por \(e^{x}\): \[ e^{x}y' + e^{x}y = e^{x}\sin(x). \] 4. O lado esquerdo pode ser reescrito como a derivada de um produto: \[ \frac{d}{dx}(e^{x}y) = e^{x}\sin(x). \] 5. Integrando ambos os lados: \[ e^{x}y = \int e^{x}\sin(x) \, dx. \] Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes ou uma tabela de integrais. O resultado da integral é: \[ \int e^{x}\sin(x) \, dx = \frac{1}{2}(e^{x}(\sin(x) - \cos(x))) + C. \] 6. Assim, temos: \[ e^{x}y = \frac{1}{2}(e^{x}(\sin(x) - \cos(x))) + C. \] 7. Dividindo ambos os lados por \(e^{x}\): \[ y = \frac{1}{2}(\sin(x) - \cos(x)) + Ce^{-x}. \] Agora, analisando as alternativas: A) \(y = Ce^{-x} + \sin(x) - \cos(x)\) B) \(y = Ce^{-x} + \cos(x)\) C) \(y = Ce^{-x} + \sin(x)\) D) \(y = Ce^{x} + \sin(x)\) A alternativa correta, que corresponde à solução encontrada, é a) \(y = Ce^{-x} + \sin(x) - \cos(x)\).