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- C) \(y = 2 - Ce^{-3x}\) 
 - D) \(y = Ce^{-3x} - 2\) 
 
 **Resposta:** A) \(y = Ce^{-3x} + 2\) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução 
geral é dada por 
 \[ 
 y = Ce^{-3x} + 2. 
 \] 
 
49. **Problema 49:** Calcule a integral \(\int e^{x} \cos(x) \, dx\). 
 - A) \(\frac{1}{2} e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C\) 
 - B) \(\frac{1}{2} e^{x} (\sin(x) - \cos(x)) + C\) 
 - C) \(\frac{1}{2} e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C\) 
 - D) \(\frac{1}{2} e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C\) 
 
 **Resposta:** A) \(\frac{1}{2} e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C\) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes duas vezes ou a fórmula para integrais de 
funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas: 
 \[ 
 \int e^{ax} \cos(bx) \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a \cos(bx) + b \sin(bx)) + C. 
 \] 
 Portanto, 
 \[ 
 \int e^{x} \cos(x) \, dx = \frac{1}{2} e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C. 
 \] 
 
50. **Problema 50:** Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \cos(x)}{x^4}\). 
 - A) \(-\frac{1}{12}\) 
 - B) 0 
 - C) \(-\frac{1}{6}\) 
 - D) 1 
 
 **Resposta:** A) \(-\frac{1}{12}\) 
 **Explicação:** Usamos a série de Taylor para \(\cos(x)\): 
 \[ 
 \cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6). 
 \] 
 Portanto, 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24})}{x^4} = \lim_{x \to 0} 
\frac{\frac{x^2}{2} - 1 + \frac{x^4}{24}}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{12}}{x^2} = -
\frac{1}{12}. 
 \] 
 
51. **Problema 51:** Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\). 
 - A) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) 
 - B) \(\frac{1}{x^3 + 1}\) 
 - C) \(\frac{3}{x^3 + 1}\) 
 - D) \(3x^2\) 
 
 **Resposta:** A) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{x^3 + 1}. 
 \] 
 
52. **Problema 52:** Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^3} \, dx\). 
 - A) \(-\frac{1}{2x^2} + C\) 
 - B) \(-\frac{1}{3x^2} + C\) 
 - C) \(-\frac{1}{x^2} + C\) 
 - D) \(-\frac{1}{4x^2} + C\) 
 
 **Resposta:** B) \(-\frac{1}{2x^2} + C\) 
 **Explicação:** A integral \(\int x^{-3} \, dx = -\frac{1}{2x^2} + C\). 
 
53. **Problema 53:** Resolva a equação \(y' + y = \sin(x)\). 
 - A) \(y = Ce^{-x} + \sin(x) - \cos(x)\) 
 - B) \(y = Ce^{-x} + \cos(x)\) 
 - C) \(y = Ce^{-x} + \sin(x)\) 
 - D) \(y = Ce^{x} + \sin(x)\) 
 
 **Resposta:** A) \(y = Ce^{-x} + \sin(x) - \cos(x)\) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução 
geral é dada por 
 \[ 
 y = Ce^{-x} + \sin(x) - \cos(x). 
 \] 
 
54. **Problema 54:** Calcule a integral \(\int \sec^2(x) \, dx\). 
 - A) \(\tan(x) + C\) 
 - B) \(\sec(x) + C\) 
 - C) \(\sin(x) + C\) 
 - D) \(\cos(x) + C\) 
 
 **Resposta:** A) \(\tan(x) + C\) 
 **Explicação:** A integral \(\int \sec^2(x) \, dx = \tan(x) + C\). 
 
55. **Problema 55:** Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\). 
 - A) 1 
 - B) 0 
 - C) \(-1\) 
 - D) Não existe 
 
 **Resposta:** A) 1