Problema 55: Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\). A) 1 B) 0 C) -1 D) Não existe

Para resolver o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando \(x\) se aproxima de 0. Aplicando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador: 1. A derivada de \(\ln(1 + x)\) é \(\frac{1}{1 + x}\). 2. A derivada de \(x\) é \(1\). Assim, temos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{1 + 0} = 1. \] Portanto, o valor do limite é 1. A alternativa correta é: A) 1.