Problema 51: Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\). A) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) B) \(\frac{1}{x^3 + 1}\) C) \(3\) D) \(3x^2\)

Para encontrar a derivada da função \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\), vamos usar a regra da cadeia. A derivada de \(\ln(u)\) é \(\frac{1}{u} \cdot u'\), onde \(u = x^3 + 1\). 1. Primeiro, encontramos \(u' = \frac{d}{dx}(x^3 + 1) = 3x^2\). 2. Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{x^3 + 1}. \] Portanto, a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\) é \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\). A alternativa correta é: A) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\).