AV - Semana 09 - Produto escalar - norma, distância e ângulo (1)

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<p>1</p><p>Álgebra Vetorial - Semana 09 - Produto escalar: norma, distância e ângulo</p><p>1. Norma (magnitude ou módulo) de um vetor</p><p>Calcule: (a) a norma do vetor �⃗� = 〈−3,2,1〉 de ℝ3, (b) a norma de -2�⃗� para verificar o item (c) do teorema e (c)</p><p>a norma do vetor �⃗⃗⃗� = 〈2, −1,3,5〉 de ℝ4.</p><p>2. Versores</p><p>• Vetor unitário ou versor (indica direção e sentido)</p><p>�⃗⃗� = ‖�⃗⃗�‖�̂�</p><p>• Os vetores unitários (versores) canônicos</p><p>ℝ2: 𝑖̂ = 〈1,0〉 𝑒 𝑗̂ = 〈0,1〉 ℝ3: 𝑖̂ = 〈1,0,0〉 𝑗̂ = 〈0,1,0〉 �̂� = 〈0,0,1〉</p><p>ℝ𝑛: �̂�1 = 〈1,0,0, ⋯ ,0〉 �̂�2 = 〈0,1,0, ⋯ ,0〉 ⋯ �̂�𝑛 = 〈0,0,0, ⋯ 1〉</p><p>• Um vetor é uma combinação linear dos versores canônicos (base do espaço vetorial)</p><p>ℝ2: �⃗� = 〈𝑣1, 𝑣2〉 = 𝑣1〈1,0〉 + 𝑣2〈0,1〉 = 𝑣1𝑖̂ + 𝑣2𝑗 ̂</p><p>ℝ3: �⃗� = 〈𝑣1, 𝑣2, 𝑣3〉 = 𝑣1〈1,0,0〉 + 𝑣2〈0,1,0〉 + 𝑣3〈0,0,1〉 = 𝑣1𝑖̂ + 𝑣2𝑗̂ + 𝑣3�̂�</p><p>ℝ𝑛: �⃗� = 〈𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛〉 = 𝑣1〈1,0, ⋯ ,0〉 + 𝑣2〈0,1, ⋯ ,0〉 + ⋯ + 𝑣𝑛〈0,0, ⋯ ,1〉 = 𝑣1�̂�1 + 𝑣2�̂�2 + ⋯ + 𝑣𝑛�̂�𝑛</p><p>2</p><p>3. Distância em ℝ𝑛: Se �⃗⃗� = 𝑂𝑃1</p><p>⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑒 �⃗� = 𝑂𝑃2</p><p>⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗</p><p>ℝ2: 𝑑(�⃗⃗�, �⃗�) = 𝑑(𝑃1, 𝑃2) = ‖𝑃1𝑃2</p><p>⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖ = ‖𝑂𝑃2</p><p>⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑂𝑃1</p><p>⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ‖ = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2</p><p>ℝ3: 𝑑(�⃗⃗�, �⃗�) = 𝑑(𝑃1, 𝑃2) = ‖𝑃1𝑃2</p><p>⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖ = ‖𝑂𝑃2</p><p>⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑂𝑃1</p><p>⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ‖ = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2</p><p>Exemplo 4. Calculando distância em ℝ𝑛</p><p>Se �⃗⃗� = 〈1,3, −2,7〉 𝑒 �⃗� = 〈0,7,2,2〉, calcule a distância entre �⃗� 𝑒 �⃗⃗�.</p><p>4. Produto escalar (produto interno) de dois vetores: noções de comprimento e ângulo. �⃗� ∙ �⃗⃗� = 𝑘 (𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟)</p><p>• Definição em termos das componentes dos vetores</p><p>- Sejam �⃗� = 〈𝑣1, 𝑣2, 𝑣3〉 = 𝑣1𝑖̂ + 𝑣2𝑗̂ + 𝑣3�̂� 𝑒 �⃗⃗� = 〈𝑢1, 𝑢2, 𝑢3〉 = 𝑢1𝑖̂ + 𝑢2𝑗̂ + 𝑢3�̂� , então</p><p>�⃗� ∙ �⃗⃗� = 𝑣1𝑢1 + 𝑣2𝑢2 + 𝑣3𝑢3</p><p>- Consequência: módulo de um vetor é dado pelo produto escalar: ‖�⃗�‖2 = �⃗� ∙ �⃗�</p><p>• Definição geométrica: (�⃗� − �⃗⃗�) ∙ (�⃗� − �⃗⃗�) = ‖�⃗� − �⃗⃗�‖2 = ‖�⃗�‖2 + ‖�⃗⃗�‖2 − 2�⃗� ∙ �⃗⃗�</p><p>𝑙𝑒𝑖 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠 ∶ ‖�⃗� − �⃗⃗�‖2 = ‖�⃗�‖2 + ‖�⃗⃗�‖2 − 2‖�⃗�‖ ‖�⃗⃗�‖ cos 𝜃</p><p>�⃗� ∙ �⃗⃗� = ‖�⃗�‖ ‖�⃗⃗�‖ cos 𝜃 𝜃: ângulo entre �⃗� 𝑒 �⃗⃗�, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋</p><p>⇒ 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠: cos 𝜃 =</p><p>�⃗⃗� ∙ �⃗�</p><p>‖�⃗⃗�‖ ‖�⃗�‖</p><p>= �̂� ∙ �̂� , 𝑠𝑒 �⃗⃗� ∙ �⃗� = 0 ∴ �⃗⃗� ⊥ �⃗�</p><p>Calcule o produto escalar dos vetores �⃗⃗� = 〈0,0,1〉 𝑒 �⃗� = 〈0,2,2〉 usando as duas definições. Verifique o resltado</p><p>representando os vetores no sistema de coordenadas.</p><p>3</p><p>• Produto escalar dos versores canônicos 𝑖̂ = 〈1,0,0〉, 𝑗̂ = 〈0,1,0〉 𝑒 �̂� = 〈0,0,1〉</p><p>𝑖̂ ∙ 𝑗̂ = 𝑗̂ ∙ �̂� = �̂� ∙ 𝑖̂ = 0, 𝑒 𝑖̂ ∙ 𝑖̂ = 𝑗̂ ∙ 𝑗̂ = �̂� ∙ �̂� = 1</p><p>- ℝ𝑛: �̂�𝑖 ∙ �̂�𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 (𝑖, 𝑗 = 1, ⋯ , 𝑛), 𝛿𝑖𝑖 = 1 𝑒 𝛿𝑖𝑗 = 0, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗 → �⃗� ∙ �⃗⃗� = 𝑣1𝑢1 + ⋯ + 𝑣𝑛𝑢𝑛</p><p>Exemplo 7. Calculando produto escalar usando componentes</p><p>(a) Calcule o produto escalar dos vetores �⃗⃗� = 〈0,0,1〉 𝑒 �⃗� = 〈0,2,2〉, representndo-os como combinação linear</p><p>dos versores canônicos e usando a distributividade.</p><p>(b) Calcule �⃗� ∙ �⃗⃗� para os vetores de ℝ4, �⃗⃗� = 〈−1,3,5,7〉 𝑒 �⃗� = 〈−3, −4,1,0〉,</p><p>Encontrar uma expressão matemática para (�⃗⃗� − 2�⃗�) ∙ (3�⃗⃗� + 4�⃗�)</p><p>5. Produto escalar como produto de matrizes</p><p>�⃗⃗� ∙ �⃗� = 〈𝑢1, ⋯ , 𝑢𝑛〉 ∙ 〈𝑣1, ⋯ , 𝑣𝑛〉 = 𝑢1𝑣1 + ⋯ + 𝑢𝑛𝑣𝑛 = [𝑢1 ⋯ 𝑢𝑛] [</p><p>𝑣1</p><p>⋮</p><p>𝑣𝑛</p><p>] = 𝑈𝑇𝑉</p><p>6. *Cossenos diretores e ângulos diretores</p><p>Seja �⃗� = 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 = 𝑎𝑖̂ + 𝑏𝑗̂ + 𝑐�̂�</p><p>𝑐𝑜𝑚𝑝�̂��⃗� = �⃗� ∙ 𝑖̂ = 𝑎 = ‖�⃗�‖ cos 𝛼 → cos 𝛼 = �̂� ∙ 𝑖̂</p><p>𝑐𝑜𝑚𝑝�̂��⃗� = �⃗� ∙ 𝑗̂ = 𝑏 = ‖�⃗�‖ cos 𝛽 → cos 𝛽 = �̂� ∙ 𝑗̂</p><p>𝑐𝑜𝑚𝑝�̂��⃗� = �⃗� ∙ �̂� = 𝑐 = ‖�⃗�‖ cos 𝛾 → cos 𝛾 = �̂� ∙ �̂�</p><p>‖�⃗�‖2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = ‖�⃗�‖2 (cos2 𝛼 + cos2 𝛽 + cos2 𝛾)</p><p>�̂� =</p><p>�⃗�</p><p>‖�⃗�‖</p><p>= 〈</p><p>𝑎</p><p>‖�⃗�‖</p><p>,</p><p>𝑏</p><p>‖�⃗�‖</p><p>,</p><p>𝑐</p><p>‖�⃗�‖</p><p>〉 = 〈cos 𝛼 , cos 𝛽 , cos 𝛾〉 → cos2 𝛼 + cos2 𝛽 + cos2 𝛾 = 1</p><p>7. Exemplos de revisão.</p><p>(a) Calcular �⃗� ∙ �⃗⃗� se ‖�⃗�‖ = 4, ‖�⃗⃗�‖ = 6 e o ângulo entre os vetores é 𝜋 3⁄ .</p><p>(b) Calcular �⃗� ∙ �⃗⃗� se �⃗� = 〈3,1, −2〉 𝑒 �⃗⃗� = 〈1, −1,1〉. Encontre o ângulo entre os vetores �⃗� 𝑒 �⃗⃗� .</p><p>(c) Verifique se os vetores �⃗� = 2𝑖 + 2 𝑗 − �⃗⃗� 𝑒 �⃗⃗� = 5𝑖 − 3 𝑗 + 2�⃗⃗� são perpendiculares.</p><p>(d) *Determine os ângulos diretores do vetor �⃗� = 〈3, −4〉 = 3𝑖 − 4 𝑗</p><p>(e) *Determine os ângulos que o vetor �⃗� = 〈2,3, −1〉 = 2𝑖 + 3 𝑗 − 1�⃗⃗� faz com os eixos coordenados.</p><p>8. *A desigualdade de Cauchy-Schwarz</p><p>- Desigualdade de Cauchy-Schwarz: ‖�⃗⃗� ∙ �⃗�‖ ≤ ‖�⃗⃗�‖‖�⃗�‖</p><p>- Desigualdade triangular: ‖�⃗⃗� + �⃗�‖ ≤ ‖�⃗⃗�‖ + ‖�⃗�‖</p><p>- Identidade do paralelogramo: ‖�⃗⃗� + �⃗�‖2 + ‖�⃗⃗� − �⃗�‖2 = 2(‖�⃗⃗�‖2 + ‖�⃗�‖2)</p><p>9. *Exemplos. Aplicação – Trabalho de uma força constante: 𝑊 = �⃗�𝑅 ∙ ∆𝑠</p><p>(a) Um carrinho é puxado por 100 𝑚 por uma corda que faz ângulo de 300 e exerce força de 70 𝑁 sobre o carrinho.</p><p>Qual o trabalho da força?</p><p>(b) Uma força é dada por �⃗� = 〈3,4,5〉 𝑁 e move uma partícula desde o ponto (2,1,0) 𝑚 ao ponto (4,6,2) 𝑚. Qual o</p><p>trabalho realizado pela força?</p><p>4</p><p>19. Em cada parte, encontre um vetor unitário de mesma direção</p><p>e sentido que os vetores dados.</p><p>_________________________________________________________________________________________________________</p><p>Respostas</p>