Vetores Força - Operações e Resultantes

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2. Vetores Força
2024-2
Departamento de Engenharia Mecânica e Produção - DEMEP
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2. Vetores Força
Objetivos do capítulo
❑Mostrar como somar forças e decompô-las
em componentes.
A torre de comunicação é
estabilizada pelos cabos que
exercem força nos pontos de
acoplamento.
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❑Expressar a força e sua localização na forma
vetorial cartesiana e explicar como determinar
a intensidade e a direção dos vetores.
❑Introduzir o conceito de produto escalar para
determinar o ângulo entre dois vetores ou a
projeção de um vetor sobre o outro.
2. Vetores Força
2.1 Escalares e vetores
❑Grandeza escalar: quantidade física caracterizada por um número positivo ou negativo.
Exemplos: massa, comprimento e volume.
❑Grandeza vetorial: qualquer quantidade física que requer uma intensidade, direção e sentido
para sua descrição completa. Exemplos: força, posição e momento.
❑ Intensidade: comprimento da seta.
❑ Direção: definida pelo ângulo entre o eixo de referencia e a reta (linha) de ação do vetor.
❑ Sentido: indicado pela ponta da seta.
❑ Exemplo:
- O vetor A tem intensidade de 4 unidades, direção de
20º medidos no sentido anti-horário a partir do eixo de
referência horizontal.
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2. Vetores Força
2.2 Operações vetoriais
❑ Multiplicação e divisão de um vetor por um escalar
- O produto do vetor A pelo escalar a definido como o vetor de intensidade aA.
- O sentido de aA é o mesmo de A.
- A divisão do vetor A pelo escalar a é definido como A/a, sendo a ≠ 0.
❑ Adição Vetorial
- Dois vetores A e B podem ser somadas formando um vetor resultante R = A + B (lei do
paralelogramo)
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2. Vetores Força
2.2 Operações vetoriais
❑ Adição Vetorial
- Soma de vetores colineares
❑ Subtração Vetorial
- A resultante da subtração vetorial pode ser expressa R’ = A – B = A + (-B)
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2. Vetores Força
2.4 Adição de um sistema de forças coplanares
❑Método das componentes retangulares: consiste em trabalhar apenas com as componentes
dos vetores, formando desse modo um sistema de forças colineares projetados nos eixos de
coordenadas do sistema de referência.
❑ Notação Escalar:
(a) F = Fx + Fy
Fx = F cosϴ
Fy = F senϴ
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2.4 Adição de um sistema de forças coplanares
❑ Notação de Vetor Cartesiano:
Também é possível representar as componentes x e y de uma força em termos de
vetores cartesianos unitários i e j. Cada um desses vetores unitários possui
intensidade adimensional igual a um e, portanto, são utilizados para designar as
direções dos eixos x e y, respectivamente.
- (a) F = Fxi + Fyj
- (b) F’ = F’xi – F’yj
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2.4 Adição de um sistema de forças coplanares
❑ Resultantes de forças coplanares – exemplo
- Qualquer um dos dois métodos descritos pode ser usado para determinar a 
resultante de várias forças coplanares.
F1 = F1x i +F1y j
F2 = -F2x i +F2y j
F3 = F3x i - F3y j
O vetor resultante é portanto:
FR = F1 +F2 + F3
= F1x i +F1y j -F2x i +F2y j + F3x i - F3y j
= (F1x -F2x + F3x ) i + (F1y +F2y - F3y ) j
= (FRX)i + (FRy)j
Vetorial cartesiana
Escalar
FRx = F1x - F2x + F3x
FRy = F1y + F2y - F3y
+
+
FRx
FRy
= ∑Fx
= ∑Fy
2. Vetores Força
2.4 Adição de um sistema de forças coplanares
❑ Resultantes de forças coplanares – exemplo
- Qualquer um dos dois métodos descritos pode ser usado para determinar a 
resultante de várias forças coplanares.
RF 2= (FRX)2 + (FRy
)2
FR x
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−1 
FR y
 = tg
2. Vetores Força
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Pontos Importantes
✓ A resultante de várias forças coplanares é determinada facilmente se for
estabelecido um sistema de coordenadas x e y e as forças forem decompostas ao
longo dos eixos.
✓ A direção de cada força é especificada pelo ângulo que sua reta de ação forma com
um dos eixos (normalmente utiliza-se o eixo x).
✓ A orientação dos eixos x e y é arbitrária e suas direções positivas são especificadas
pelos vetores cartesianos unitários i e j.
✓ Os componentes x e y da força resultante são simplesmente a soma algébrica dos
componentes de todas as forças coplanares.
✓ A intensidade da força resultante é determinada pelo teorema de Pitágoras e,
quando, os componentes são traçados em um desenho esquemático de eixos x e y,
a direção é determinada trigonometricamente.
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2.4 Adição de um sistema de forças coplanares - exemplo
Determine os componentes x e y de F1 e F2 que atuam sobre a lança mostrada na Figura 
abaixo. Expresse cada força como vetor cartesiano.
Notação escalar:
- Pela lei do paralelogramo F1 é
decomposta em x e y.
- Intensidade de cada força é 
determinada por trigonometria.
F1x = -200 sen 30º N = -100N
F1y = 200 cos 30º N = 173N
Usando partes proporcionais de
triângulos semelhantes, temos:
2xF = 260 (12/13) N = 240N
F2y = - 260 (5/13) N = -100N
=
12
 =
5
260N 13 260N 13
F2 yF2 x
Notação vetorial cartesiana:
F1 = {-100i + 173j} N
F2 = {240i – 100j} N
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2.4 Adição de um sistema de forças coplanares - exemplo
O elo da Figura está submetido a duas forças F1 e F2. 
Determine a intensidade e a orientação da força resultante.
Solução escalar:
→ FRx = Fx
FRx = 600 cos30− 400sen45 = 236,8N
 FRy = Fy
FRy = 600sen30 + 400 cos45 = 582,8N
Força Resultante:
= 629NF = (236,8)2 + (582,8)2
R
Solução vetorial cartesiana:
o
 = 67,9
 236,8 
 582,8 −1 = tg 
Angulo:
1
F2 = {−400sen45i + 400 cos 45j}N
F ={600 cos30i + 600sen30j}N
Força Resultante:
FR = F1 +F2
= (600 cos30− 400sen45)i + (600sen30+ 400cos 45)j
= {236,8i + 582,8j}N
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2.4 Adição de um sistema de forças coplanares – exercício:
Determine a intensidade e a direção da força resultante, 
medida no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo.
R
F = (−162,89)2 + (−520,9)2 = 546N
→ FRx = Fx
Rx
5
F =
4
(850)− 625sen30− 750sen45 = −162,8N
 FRy = Fy
Ry
5
F = −
3
(850)− 625cos30+ 750cos 45 = −520,9N
 

−162,8
 = tg −1 − 520,9 
= 72,64o
Angulo:
Força Resultante:
 =180 + 72,64 = 253o 546N
13
Ф
162,8N
520,9N
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2.4 Adição de um sistema de forças coplanares – exercício:
Três forças atuam sobre o suporte da figura. Determine a
intensidade e a direção de F1, de modo que a força
resultante seja orientada ao longo do eixo x’ positivo e
tenha intensidade 1kN.
→ FRx = Fx
1000 cos30 = 200 + 450 cos 45+ F1 cos( + 30)
 FRy = Fy
−1000sen30 = 450sen45 − F1sen( + 30)
 + 30 = 66,97
 = 37o
F1 = 889N
F1sen( + 30) = 818,19
F1 cos( + 30) = 347,82
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tan( + 30) = 2.35
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2.5 Vetores Cartesianos
As operações da álgebra vetorial, quando aplicadas na solução de problemas
tridimensionais, são simplificadas se os vetores são representados primeiro na forma 
vetorial cartesiana.
❑ Sistemas de coordenadas utilizando a regra da mão direita
❑ Componentes retangulares de um vetor A
A = A’ + Az
A’ = Ax + Ay
Combinando estas equações A é
representado pela soma vetorial de
seus 3 componentes retangulares:
A = Ax + Ay + Az
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2.5 Vetores Cartesianos
❑ Vetores cartesianos unitários: i, j, k
Usado para designar as direções x, y, z
❑ Representação de um vetor cartesiano:
A = Ax i + Ay j + Az k
Note que a intensidade e direção de cada componente
do vetor estão separadas o que simplifica as operações
de álgebra vetorial, principalmente em 3 dimensões.
❑ Intensidade de um vetor cartesiano:
x
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z
A2 +A2+A2
y z
A = A'2+A2
A'= A2 +A2
x y
A =
2. Vetores Força
2.5 Vetores Cartesianos
❑ Direção de um vetor cartesiano
cos =
Ax cos =
Ay cos =
Az 
A A A
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2.6 Adição e subtração de vetores cartesianos
Se o conceito de adição for generalizado e aplicado em um sistema de várias
forças concorrentes, então a força resultante será o vetor soma de todas as forças
do sistema e poderá ser escrita como:
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2. Vetores Força
Pontos Importantes
✓ A análise vetorial cartesiana é usada frequentemente para resolver problemas em 
três dimensões.
✓ A direção positiva dos eixos x, y e z é definida pelos vetores cartesianosunitários
i, j e k, respectivamente.
✓ A direção de um vetor cartesiano é definida pelos ângulos que a origem do vetor
forma com os eixos positivos x, y e z, respectivamente.
✓ Para determinar a resultante de um sistema de forças concorrentes, expresse
cada força como um vetor cartesiano e adicione os componentes i, j e k de todas
as forças do sistema.
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2. Vetores Força
2.6 Adição e subtração de vetores cartesianos - exemplo
Determine a intensidade e os ângulos diretores 
coordenados da força resultante que atua sobre o anel.
= 0,261i − 0,209j+ 0,942k
=
FR =
50
i −
40
j+
180
k
FR 191 191 191
u
FR
Assim temos:
cos = 0,261 = 74,8o 
cos = −0,209 =102o 
cos = 0,942 =19,6o
FR = F = F1+ F2 = {60j+ 80k}lb+{50i −100j+100k}lb
= {50i − 40j+180k}lb
F = (50)2 + (−40)2 + (180)2 =191lb
R
Direção: componentes do vetor unitário
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2. Vetores Força
2.7. Vetores posição
-Conceito de vetor posição → mostrar sua importância na formulação do vetor força 
cartesiano orientado entre dois pontos quaisquer do espaço.
- O sistema de coordenadas será sempre o da mão direita, considerando o sentido
positivo do eixo z para cima.
- As coordenadas do ponto A na Figura abaixo são obtidas a partir de um ponto de 
referencia O, medindo: x = +4m, y = +2m e z = -6m, então A (4,2,-6).
- Da mesma forma para o ponto B: B(0,2,0) e C(6,-1,4).
Vetor posição: o vetor posição r é definido como um vetor fixo
que localiza um ponto do espaço em relação a outro. Considere
o vetor posição de um ponto P(x,y,z).
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2. Vetores Força
2.7 Vetores posição
- Pela adição de vetores temos que:
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2. Vetores Força
2.8 Vetor força orientado ao longo de uma reta
- Nos problemas de estática tridimensional, a direção de
uma força pode ser definida por dois pontos pelos quais
passa sua linha de ação.



  
 ( (x)2 + ( y)2 + (z)2  r 
(xi + yj+ zk)
F = Fu = F
 r 
= F

- Pode-se definir F como um vetor cartesiano
pressupondo que ele tenha mesma direção e
sentido que o vetor posição r orientado do
ponto A para o ponto B da corda.
- Essa direção comum é especificada pelo vetor
unitário u = r/r
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2.8 Vetor força orientado ao longo de uma reta - exemplo
O homem puxa a corda com uma força de 70lb. Represente essa força,
que atua sobre o suporte A, como vetor cartesiano e determine sua
direção.
- As coordenadas dos pontos: A(0,0,30) e B(12,-8,6)
- Determinar o vetor r:
r = (12 − 0)i + (−8− 0)j+ (6 − 30)k 
r = {12i −8j− 24k}pés
r = (12) 2 + (−8)2 + (−24)2 = 28 pés
= {30i − 20j− 60k}lb
r 28 28 28
r 12 8 24
i − j− ku = =


 28 28 28
12 8 24
F = Fu = 70lb i − j− k 

28 

24

28


28

 
 = cos−1 − 24 
=149o
 
 = cos−1 −8 
=107o
 
 = cos−112 
= 64,6o
2. Vetores Força
2.8 Vetor força orientado ao longo de uma reta - exemplo
A cobertura é suportada por cabos, como mostrado na figura abaixo. Se os cabos exercem as
forças FAB = 100 N e FAC = 120 N no gancho em A, como mostrado, determine a intensidade
da força resultante que atua em A.
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2. Vetores Força
2.8 Vetor força orientado ao longo de uma reta - exemplo
A cobertura é suportada por cabos, como mostrado na figura abaixo. Se os cabos exercem as
forças FAB = 100 N e FAC = 120 N no gancho em A, como mostrado, determine a intensidade
da força resultante que atua em A.
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2.8 Vetor força orientado ao longo de uma reta - exemplo
A cobertura é suportada por cabos, como mostrado na figura abaixo. Se os cabos exercem as
forças FAB = 100 N e FAC = 120 N no gancho em A, como mostrado, determine a intensidade
da força resultante que atua em A.
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2. Vetores Força
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO
Uma fita elástica está presa aos pontos A e B. Determine 
seu comprimento e sua direção, medidos de A para B.
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A cobertura é suportada por cabos, como
mostrado na figura abaixo. Se os cabos exercem
as forças FAB = 200 N e FAC = 220 N no gancho
em A, como mostrado, determine a intensidade
da força resultante que atua em A.
2. Vetores Força
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO
mkjir
kjir
kzzjyyixxr ABABAB
}623{
)33()02()12(
)()()(
++−=
−−+−+−−=
−+−+−=
Uma fita elástica está presa aos pontos A e B. Determine 
seu comprimento e sua direção, medidos de A para B.
- Estabelecer um vetor posição de A para B.
A (1, 0, -3)m
B (-2, 2, 3)m
- Intensidade de r igual o comprimento da fita:
mr 7)6()2()3( 222 =++−=
o
o
o
31
7
6
cos
4,73
7
2
cos
115
7
3
cos
1
1
1
=





=
=





=
=




 −
=
−
−
−









= −
r
r1cos
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	Slide 1
	Slide 2: 2. Vetores Força
	Slide 3: 2. Vetores Força
	Slide 4: 2. Vetores Força
	Slide 5: 2. Vetores Força
	Slide 6: 2. Vetores Força
	Slide 7: 2. Vetores Força
	Slide 8
	Slide 9
	Slide 10: Pontos Importantes
	Slide 11: 2. Vetores Força
	Slide 12
	Slide 13: 2. Vetores Força
	Slide 14
	Slide 15: 2. Vetores Força
	Slide 16: 2. Vetores Força
	Slide 17: 2. Vetores Força
	Slide 18: 2. Vetores Força
	Slide 19: Pontos Importantes
	Slide 20
	Slide 21: 2. Vetores Força
	Slide 22
	Slide 23: 2. Vetores Força
	Slide 24
	Slide 25: 2. Vetores Força
	Slide 26: 2. Vetores Força
	Slide 27: 2. Vetores Força
	Slide 28
	Slide 29