Qual é o valor de \( \cos(90^\circ + 30^\circ) \)? a) \frac{1}{2} b) -\sin(30^\circ) c) 0 d) -\cos(30^\circ)

Para resolver \( \cos(90^\circ + 30^\circ) \), podemos usar a fórmula de adição de ângulos para o cosseno: \[ \cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B \] Neste caso, \( A = 90^\circ \) e \( B = 30^\circ \): \[ \cos(90^\circ + 30^\circ) = \cos(90^\circ) \cdot \cos(30^\circ) - \sin(90^\circ) \cdot \sin(30^\circ) \] Sabemos que: - \( \cos(90^\circ) = 0 \) - \( \sin(90^\circ) = 1 \) - \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) - \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) Substituindo os valores: \[ \cos(90^\circ + 30^\circ) = 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( \frac{1}{2} \) - Incorreto. b) \( -\sin(30^\circ) \) - Como \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \), então \( -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2} \) - Correto. c) 0 - Incorreto. d) \( -\cos(30^\circ) \) - Como \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), então \( -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: b) -\sin(30^\circ).