Calcule a integral \(\int_0^1 (2x^2 - 3x + 1) \, dx\). A) 0 B) \(\frac{1}{2}\) C) \(\frac{1}{3}\) D) \(\frac{5}{6}\)

Para calcular a integral \(\int_0^1 (2x^2 - 3x + 1) \, dx\), vamos seguir os passos: 1. Encontrar a antiderivada da função \(2x^2 - 3x + 1\): - A antiderivada de \(2x^2\) é \(\frac{2}{3}x^3\). - A antiderivada de \(-3x\) é \(-\frac{3}{2}x^2\). - A antiderivada de \(1\) é \(x\). Portanto, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x \] 2. Avaliar a antiderivada nos limites de 0 a 1: \[ F(1) = \frac{2}{3}(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^2 + (1) = \frac{2}{3} - \frac{3}{2} + 1 \] Para calcular isso, precisamos de um denominador comum, que é 6: \[ F(1) = \frac{2}{3} - \frac{9}{6} + \frac{6}{6} = \frac{4}{6} - \frac{9}{6} + \frac{6}{6} = \frac{4 - 9 + 6}{6} = \frac{1}{6} \] Agora, avaliamos em \(x = 0\): \[ F(0) = \frac{2}{3}(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^2 + (0) = 0 \] 3. Calcular a integral: \[ \int_0^1 (2x^2 - 3x + 1) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{6} - 0 = \frac{1}{6} \] Agora, analisando as alternativas: A) 0 B) \(\frac{1}{2}\) C) \(\frac{1}{3}\) D) \(\frac{5}{6}\) Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado \(\frac{1}{6}\). Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a integral foi formulada corretamente.