Determine a integral \(\int_0^1 (x^4 - 5x^3 + 10x^2 - 10x + 5) \, dx\). A) 0 B) 1 C) \(\frac{5}{6}\) D) \(\frac{1}{5}\)

Para resolver a integral \(\int_0^1 (x^4 - 5x^3 + 10x^2 - 10x + 5) \, dx\), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. A integral de \(x^4\) de 0 a 1: \[ \int_0^1 x^4 \, dx = \left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} = \frac{1}{5} \] 2. A integral de \(-5x^3\) de 0 a 1: \[ \int_0^1 -5x^3 \, dx = -5 \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = -5 \left(\frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4}\right) = -5 \cdot \frac{1}{4} = -\frac{5}{4} \] 3. A integral de \(10x^2\) de 0 a 1: \[ \int_0^1 10x^2 \, dx = 10 \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = 10 \cdot \frac{1^3}{3} = \frac{10}{3} \] 4. A integral de \(-10x\) de 0 a 1: \[ \int_0^1 -10x \, dx = -10 \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = -10 \cdot \frac{1^2}{2} = -5 \] 5. A integral de \(5\) de 0 a 1: \[ \int_0^1 5 \, dx = 5[x]_0^1 = 5(1 - 0) = 5 \] Agora, somamos todos os resultados: \[ \frac{1}{5} - \frac{5}{4} + \frac{10}{3} - 5 + 5 \] Simplificando: - O termo \(5\) e \(-5\) se cancelam. - Agora, precisamos somar \(\frac{1}{5} - \frac{5}{4} + \frac{10}{3}\). Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de \(5\), \(4\) e \(3\) é \(60\). Convertendo cada fração: - \(\frac{1}{5} = \frac{12}{60}\) - \(-\frac{5}{4} = -\frac{75}{60}\) - \(\frac{10}{3} = \frac{200}{60}\) Agora somamos: \[ \frac{12}{60} - \frac{75}{60} + \frac{200}{60} = \frac{12 - 75 + 200}{60} = \frac{137}{60} \] Portanto, a integral \(\int_0^1 (x^4 - 5x^3 + 10x^2 - 10x + 5) \, dx = \frac{137}{60}\). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse resultado. Você pode verificar se a questão está correta ou se há um erro nas opções.