Calcule a integral \(\int_0^1 (x^3 + 4x^2 + 3x + 2) \, dx\). A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^3 + 4x^2 + 3x + 2) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(f(x) = x^3 + 4x^2 + 3x + 2\). 1. A antiderivada de \(x^3\) é \(\frac{x^4}{4}\). 2. A antiderivada de \(4x^2\) é \(\frac{4x^3}{3}\). 3. A antiderivada de \(3x\) é \(\frac{3x^2}{2}\). 4. A antiderivada de \(2\) é \(2x\). Assim, a antiderivada \(F(x)\) é: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{4x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2x \] Agora, vamos calcular \(F(1)\) e \(F(0)\): \[ F(1) = \frac{1^4}{4} + \frac{4 \cdot 1^3}{3} + \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 2 \cdot 1 = \frac{1}{4} + \frac{4}{3} + \frac{3}{2} + 2 \] Convertendo tudo para um denominador comum (12): \[ F(1) = \frac{3}{12} + \frac{16}{12} + \frac{18}{12} + \frac{24}{12} = \frac{61}{12} \] Agora, calculamos \(F(0)\): \[ F(0) = 0 \] Portanto, a integral é: \[ \int_0^1 (x^3 + 4x^2 + 3x + 2) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{61}{12} - 0 = \frac{61}{12} \] Como \(\frac{61}{12}\) não está entre as opções, parece que houve um erro nas alternativas. No entanto, se considerarmos a integral, ela não resulta em nenhuma das opções dadas (0, 1, 2, 3). Você pode querer revisar as opções ou o enunciado da questão.