Encontre a integral \(\int_0^1 (4x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x) \, dx\). A) 0 B) \(\frac{1}{2}\) C) \(\frac{1}{4}\) D) \(\frac{1}{3}\)

Para resolver a integral \(\int_0^1 (4x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x) \, dx\), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. Integral de \(4x^4\): \[ \int 4x^4 \, dx = \frac{4}{5}x^5 \] 2. Integral de \(-3x^3\): \[ \int -3x^3 \, dx = -\frac{3}{4}x^4 \] 3. Integral de \(2x^2\): \[ \int 2x^2 \, dx = \frac{2}{3}x^3 \] 4. Integral de \(-x\): \[ \int -x \, dx = -\frac{1}{2}x^2 \] Agora, somamos todas as integrais: \[ \int (4x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x) \, dx = \frac{4}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + C \] Agora, avaliamos de \(0\) a \(1\): \[ \left[ \frac{4}{5}(1)^5 - \frac{3}{4}(1)^4 + \frac{2}{3}(1)^3 - \frac{1}{2}(1)^2 \right] - \left[ \frac{4}{5}(0)^5 - \frac{3}{4}(0)^4 + \frac{2}{3}(0)^3 - \frac{1}{2}(0)^2 \right] \] Isso simplifica para: \[ \frac{4}{5} - \frac{3}{4} + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \] Agora, precisamos encontrar um denominador comum para somar essas frações. O mínimo múltiplo comum de \(5\), \(4\), \(3\) e \(2\) é \(60\). Convertendo cada fração: - \(\frac{4}{5} = \frac{48}{60}\) - \(-\frac{3}{4} = -\frac{45}{60}\) - \(\frac{2}{3} = \frac{40}{60}\) - \(-\frac{1}{2} = -\frac{30}{60}\) Agora somamos: \[ \frac{48}{60} - \frac{45}{60} + \frac{40}{60} - \frac{30}{60} = \frac{48 - 45 + 40 - 30}{60} = \frac{13}{60} \] Portanto, a integral \(\int_0^1 (4x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x) \, dx\) resulta em \(\frac{13}{60}\), que não está entre as opções dadas. Parece que houve um erro nas opções ou na formulação da pergunta. Você pode verificar se as opções estão corretas?