Questão: Qual é a integral definida da função f(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x + 7 no intervalo de 0 a 2? a) 38 b) 42 c) 46 d) 50

Para calcular a integral definida da função \( f(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x + 7 \) no intervalo de 0 a 2, precisamos primeiro encontrar a antiderivada da função. 1. Encontrar a antiderivada: \[ F(x) = \int (2x^3 + 5x^2 - 3x + 7) \, dx = \frac{2}{4}x^4 + \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 7x + C \] Simplificando, temos: \[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 + \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 7x \] 2. Calcular a integral definida de 0 a 2: \[ \int_0^2 (2x^3 + 5x^2 - 3x + 7) \, dx = F(2) - F(0) \] Calculando \( F(2) \): \[ F(2) = \frac{1}{2}(2^4) + \frac{5}{3}(2^3) - \frac{3}{2}(2^2) + 7(2) \] \[ = \frac{1}{2}(16) + \frac{5}{3}(8) - \frac{3}{2}(4) + 14 \] \[ = 8 + \frac{40}{3} - 6 + 14 \] \[ = 16 + \frac{40}{3} = \frac{48}{3} + \frac{40}{3} = \frac{88}{3} \] Agora, calculando \( F(0) \): \[ F(0) = 0 \] Portanto, a integral definida é: \[ \int_0^2 (2x^3 + 5x^2 - 3x + 7) \, dx = F(2) - F(0) = \frac{88}{3} - 0 = \frac{88}{3} \approx 29.33 \] Parece que houve um erro na interpretação das opções, pois nenhuma delas corresponde ao resultado obtido. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a função a ser integrada é a mesma. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!