Qual é o valor da integral definida da função f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 5x + 3 de 1 a 3? a) 32 b) 42 c) 52 d) 62

Para calcular a integral definida da função \( f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 5x + 3 \) de 1 a 3, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a primitiva (antiderivada) da função \( f(x) \): \[ F(x) = \int (2x^3 + 4x^2 - 5x + 3) \, dx = \frac{2}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 3x + C \] Simplificando, temos: \[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 3x \] 2. Calcular a integral definida de 1 a 3: \[ \int_{1}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(1) \] - Calculando \( F(3) \): \[ F(3) = \frac{1}{2}(3^4) + \frac{4}{3}(3^3) - \frac{5}{2}(3^2) + 3(3) \] \[ = \frac{1}{2}(81) + \frac{4}{3}(27) - \frac{5}{2}(9) + 9 \] \[ = 40.5 + 36 - 22.5 + 9 = 63 \] - Calculando \( F(1) \): \[ F(1) = \frac{1}{2}(1^4) + \frac{4}{3}(1^3) - \frac{5}{2}(1^2) + 3(1) \] \[ = \frac{1}{2}(1) + \frac{4}{3}(1) - \frac{5}{2}(1) + 3 \] \[ = 0.5 + \frac{4}{3} - 2.5 + 3 \] \[ = 0.5 + 1.33 - 2.5 + 3 = 2.33 \] 3. Substituindo na fórmula: \[ \int_{1}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(1) = 63 - 2.33 = 60.67 \] Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos revisar: - \( F(3) = 63 \) - \( F(1) = 2.33 \) Portanto, a integral definida é: \[ \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 63 - 2.33 = 60.67 \] Nenhuma das alternativas corresponde exatamente a esse valor, mas se considerarmos arredondamentos ou erros de cálculo, a opção mais próxima é a d) 62.