para que um espaço vetorial seja definido como tal, é necessário que todos os axiomas sejam verdadeiros. considere o conjunto v

Para que um conjunto \( V \) seja considerado um espaço vetorial, ele deve satisfazer os seguintes axiomas: 1. Fechamento sob adição: Para todo \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \), a soma \( \mathbf{u} + \mathbf{v} \) também pertence a \( V \). 2. Fechamento sob multiplicação escalar: Para todo \( \mathbf{v} \in V \) e todo escalar \( c \), o produto \( c \cdot \mathbf{v} \) pertence a \( V \). 3. Associatividade da adição: Para todo \( \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V \), temos \( (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \). 4. Comutatividade da adição: Para todo \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \), \( \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} \). 5. Elemento neutro da adição: Existe um vetor nulo \( \mathbf{0} \in V \) tal que \( \mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v} \) para todo \( \mathbf{v} \in V \). 6. Inverso aditivo: Para todo \( \mathbf{v} \in V \), existe um vetor \( -\mathbf{v} \in V \) tal que \( \mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0} \). 7. Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de vetores: Para todo escalar \( c \) e \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \), \( c \cdot (\mathbf{u} + \mathbf{v}) = c \cdot \mathbf{u} + c \cdot \mathbf{v} \). 8. Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição escalar: Para todo escalar \( c, d \) e \( \mathbf{v} \in V \), \( (c + d) \cdot \mathbf{v} = c \cdot \mathbf{v} + d \cdot \mathbf{v} \). 9. Associatividade da multiplicação escalar: Para todo escalar \( c, d \) e \( \mathbf{v} \in V \), \( c \cdot (d \cdot \mathbf{v}) = (c \cdot d) \cdot \mathbf{v} \). 10. Elemento neutro da multiplicação escalar: Para todo \( \mathbf{v} \in V \), \( 1 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \). Se todos esses axiomas forem verdadeiros para o conjunto \( V \), então \( V \) é um espaço vetorial.