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a1 AVALIAÇÃO A DISTÂNCIA DE ÁLGEBRA I 
 
1. Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto . Demonstre as 
afirmações verdadeiras e dê contra exemplos para as falsas. 
Ω
a) Se A ⊂ B e B C então A⊄C. ⊄
RESOLUÇÃO: Falso. Exemplo: ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A={0,1,2}, 
B={0,1,2,3,4}, C={0,1,2} 
Ω
b) Se A B e B C então A C. ≠ ≠ ≠
RESOLUÇÃO: Falso. Exemplo: ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A={0,1,2}, 
B={0,1,2,3,4}, C={0,1,2,} 
Ω
c) Se A={ x∈Z : 4 | x} e B={ x∈Z : 2 | x} então B⊃ A. 
RESOLUÇÃO: Verdadeiro. Seja x∈A 4 | x ⇒ x = 4k para algum k ∈Z ⇒x = 
2.2k para algum k ∈Z ⇒ 2 | x x∈B. Logo 
⇒
⇒
( )( BxAxx ∈⇒∈∀ ) 
d) A={ x∈Z : x >625} B={ x∈Z : | x | >25}. 2 ⊆
RESOLUÇÃO: Verdadeiro. Seja x ∈A x∈Z e x >625 x < -25 ou x > 25 
| x | >25⇒x∈Z e | x | >25⇒ x∈B. Logo A={ x∈Z : x >625} B={ x∈Z : | x | 
>25}. 
⇒ 2 ⇒ ⇒
2 ⊆
 
2. Verificar se a relação binária em IN definida por xRy se e somente se 
x = y+1 é reflexiva, simétrica, anti-simétrica ou transitiva. 
RESOLUÇÃO: 
Reflexiva: Não é reflexiva, pois para todo x∈IN, x ≠ x+1. 
Simétrica: Não é simétrica, pois para todo x e y ∈IN, se x = y + 1 então y = x -1. 
Anti-simétrica: É anti-simétrica, pois se x e y∈IN tais que x = y + 1 então y x + 
1, e portanto, para todo x e y ∈ IN, se x R y e y R x então x =y. 
≠
Transitiva: não é transitiva. Sejam x, y e z ∈IN tais que x = y +1 e y = z +1, 
assim x = z + 2. 
 
3. Seja R uma relação binária em um conjunto A. A inversa de R, denotada 
R , é a relação binária definida por x R y se e somente se y R x. Prove 
que se R é uma relação transitiva então R também será transitiva. 
1− 1−
−1
RESOLUÇÃO: Seja R uma relação transitiva, isto é: Para todo x,y e z ∈A, se 
x R y e y R z então x R z. 
Sejam a,b e c ∈ A tais que a R b e b R c, assim, pela definição de R , b R a 
e c R b, logo por R ser transitiva c R a, e portanto a R c. 
1− 1− 1−
1−
Logo R é uma relação transitiva em A. 1−
 
4. Mostrar que a relação S sobre C (conjunto dos números complexos) 
definida por: 
(x+yi) R (z+ti) com x,y,z,t ∈IR, ⇔ 2222 tzyx +=+
 é uma relação de equivalência. Descrever a classe i+1 I ezze-29 
RESOLUÇÃO: 
Reflexiva: Para todo (x + yi) ∈ C, 2222 yxyx +=+
Simétrica: Sejam (x + yi) e (z + ti) ∈ C tais que (x+yi)R(z+ti), logo 
, assim e portanto (z+ti) R (x+yi). 2222 tzyx +=+ 2222 yxtz +=+
Transitiva: Sejam (x + yi), (z + ti) e (m + ni) ∈ C tais que (x+yi)R(z+ti) e (z+ti) R 
(m + ni), assim e e portanto2222 tzyx +=+ 22222222 nmyxnmtz +=+⇒=+ + 
(x+yi)R(m+ni). 
 i+1 = {x+yi : } 211 2222 =+=+ yx
 
5. Dizer se o subconjunto S = {2 ,24 ,12 } de IN é totalmente ordenado pela 
relação divisibilidade. 
RESOLUÇÃO:Sim, pois 2 | 12 e 2 | 24, e 12 |24. 
6. Dizer se o subconjunto S = {3 ,5 ,15 } de IN é totalmente ordenado pela 
relação divisibilidade. 
RESOLUÇÃO:Não, pois 3 não divide 5 nem 5 divide 3 
 
 
7. Use o Princípio da Indução Matemática para provar que: 
a) é divisível por 3, ∀ IN 122 −n n ∈
RESOLUÇÃO:Base de indução: é divisível por 3 31412 )1(2 =−=−
Hipótese de indução: Supõem-se que 2 , para algum inteiro m. mk 312 =−
Queremos mostrar que é divisível por 3. 12 )1(2 −+k
De fato, 
12 )1(2 −+k = )14(331214121)13(212.212 22222 +=+=−+=−+=−=−= + mmmmkk
Assim é divisível por 3. 12 )1(2 −+k
Tem-se então que é divisível por 3, ∀ IN. 122 −n n ∈
b) ,∀ >3 nn 32 > n
RESOLUÇÃO:Base de indução: 16>3.4=12 
Hipótese de indução: Supõem-se que k k32 >
Queremos mostrar que . ( ) )1(31 2 +>+ kk
De fato, 
( ) )1(333183123121 22 +=+>++≥++>++=+ kkkkkkkk . 
Assim , >3. nn 32 > n∀
8. Em IN× IN define-se (a,b)≤ (c,d) a | c e b d. Mostre que esta relação 
( ) é uma relação de ordem parcial em IN× IN. 
⇔ ≤
≤
RESOLUÇÃO: 
 Reflexiva: Seja (a,b) ∈ IN× IN, como a | a e a a então (a,b) (a,b) ≤ ≤
Anti-simétrica: Sejam (a,b) e (c,d) ∈ IN× IN tais que (a,b) (c,d) e (c,d)≤ (a,b), 
assim a | c e b d e c | a e d≤b, logo a=b e c= d. Tem-se então que (a,b)= 
(c,d). 
≤
≤
Transitiva: Sejam (a,b), (c,d) e (e,f) ∈ IN× IN tais que (a,b) (c,d) e (c,d)≤ (e,f), 
assim a | c e b≤d e c | e e d f, então a | e e b f. Assim (a,b) ≤ (e,f) . Tem-
se então que é uma relação de ordem parcial em IN× IN.
≤
≤ ≤
≤ 
9. Use o algoritmo de Euclides para calcular o M.D.C (180, 252). 
RESOLUÇÃO: 
252=1×180+72 
180=2×72+36 
72=2 36+0 ×
Assim o M.D.C (180,252) é 36