Problema 52: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \tan(x)}{x^3} \). a) \( -\frac{1}{3} \) b) 0 c) 1 d) \( \frac{1}{3} \)

Para calcular o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \tan(x)}{x^3} \), podemos usar a série de Taylor para \( \tan(x) \) em torno de \( x = 0 \): A série de Taylor para \( \tan(x) \) é: \[ \tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5) \] Substituindo na expressão do limite, temos: \[ x - \tan(x) = x - \left( x + \frac{x^3}{3} + O(x^5) \right) = -\frac{x^3}{3} - O(x^5) \] Assim, a expressão do limite se torna: \[ \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{3} - O(x^5)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \left( -\frac{1}{3} - \frac{O(x^5)}{x^3} \right) \] Como \( O(x^5)/x^3 \) tende a 0 quando \( x \to 0 \), o limite é: \[ -\frac{1}{3} \] Portanto, a resposta correta é: a) \( -\frac{1}{3} \)