Problema 45: Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \). a) 5 b) 0 c) 1 d) Não existe

Para resolver o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \), podemos usar a propriedade do limite fundamental que diz que \( \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1 \). Neste caso, podemos fazer uma substituição. Se \( u = 5x \), então quando \( x \to 0 \), \( u \to 0 \) também. Assim, podemos reescrever o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u/5} = 5 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 5 \cdot 1 = 5. \] Portanto, a resposta correta é a) 5.