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Problema 49: Calcule a integral \( \int (4x^3 + 2x^2 - 7) \, dx \).

a) \( x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 7x + C \)
b) \( x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 7 + C \)
c) \( x^4 + x^3 - 7x + C \)
d) \( x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 7x^2 + C \)
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Para calcular a integral \( \int (4x^3 + 2x^2 - 7) \, dx \), vamos integrar cada termo separadamente: 1. A integral de \( 4x^3 \) é \( \frac{4}{4}x^4 = x^4 \). 2. A integral de \( 2x^2 \) é \( \frac{2}{3}x^3 \). 3. A integral de \( -7 \) é \( -7x \). Agora, juntando tudo, temos: \[ \int (4x^3 + 2x^2 - 7) \, dx = x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 7x + C \] Analisando as alternativas: a) \( x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 7x + C \) - Correta. b) \( x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 7 + C \) - Incorreta (falta o termo \( -7x \)). c) \( x^4 + x^3 - 7x + C \) - Incorreta (o coeficiente de \( x^3 \) está errado). d) \( x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 7x^2 + C \) - Incorreta (o termo \( -7x^2 \) está errado). Portanto, a alternativa correta é: a) \( x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 7x + C \).

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c) \( \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 3 + C \)
d) \( \frac{1}{4}x^4 + 2x^3 - 3x + C \)

Problema 47: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\tan(x^2)} \).

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a) \( \frac{2}{2x + 1} \)
b) \( \frac{1}{2x + 1} \)
c) \( \frac{1}{x + 1} \)
d) \( \frac{1}{2} \)

Problema 50: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \).

a) 2
b) 0
c) 1
d) Não existe

Problema 51: Determine a integral \( \int (5x^2 - 3x + 4) \, dx \).

a) \( \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 4x + C \)
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c) \( \frac{5}{3}x^3 - 3x + 4 + C \)
d) \( \frac{5}{3}x^3 - 3x^2 + 4 + C \)

Problema 52: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \tan(x)}{x^3} \).

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b) 0
c) 1
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