na função \(f(x) = x^2 +x-1\) com \(-pi \leq x \leq \pi\), determine o coeficiente \(a_0\) de Fourier.

Para determinar o coeficiente \(a_0\) da série de Fourier da função \(f(x) = x^2 + x - 1\) no intervalo \([-π, π]\), usamos a fórmula: \[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx \] Substituindo \(f(x)\): \[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (x^2 + x - 1) \, dx \] Agora, vamos calcular a integral: 1. Integral de \(x^2\): \[ \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{\pi^3}{3} - \left(-\frac{\pi^3}{3}\right) = \frac{2\pi^3}{3} \] 2. Integral de \(x\): \[ \int_{-\pi}^{\pi} x \, dx = 0 \quad (\text{a função é ímpar}) \] 3. Integral de \(-1\): \[ \int_{-\pi}^{\pi} -1 \, dx = -\left[ x \right]_{-\pi}^{\pi} = -(\pi - (-\pi)) = -2\pi \] Agora, somando as integrais: \[ \int_{-\pi}^{\pi} (x^2 + x - 1) \, dx = \frac{2\pi^3}{3} + 0 - 2\pi = \frac{2\pi^3}{3} - 2\pi \] Colocando tudo na fórmula de \(a_0\): \[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \left( \frac{2\pi^3}{3} - 2\pi \right) = \frac{1}{2\pi} \left( \frac{2\pi^3 - 6\pi^2}{3} \right) = \frac{2\pi^2 - 6}{6} \] Portanto, o coeficiente \(a_0\) é: \[ a_0 = \frac{\pi^2 - 3}{3} \]