Para determinar os coeficientes de Fourier \( a_k \) do sinal periódico \( x(t) = 2 + \cos\left(\frac{2\pi}{3} t\right) + 4\sin\left(\frac{5\pi}{3} t\right) \), precisamos identificar os componentes do sinal. 1. Termo constante: O termo \( 2 \) é a média do sinal, que corresponde ao coeficiente \( a_0 \). Portanto, \( a_0 = 2 \). 2. Termo cosseno: O termo \( \cos\left(\frac{2\pi}{3} t\right) \) pode ser escrito como parte da forma exponencial. O coeficiente associado a \( \cos\left(\frac{2\pi}{3} t\right) \) é \( a_2 = \frac{1}{2} \) e \( a_{-2} = \frac{1}{2} \). 3. Termo seno: O termo \( 4\sin\left(\frac{5\pi}{3} t\right) \) pode ser escrito como \( 4\left(\frac{e^{j\frac{5\pi}{3} t} - e^{-j\frac{5\pi}{3} t}}{2j}\right) \). Isso implica que \( a_5 = -2j \) e \( a_{-5} = 2j \). Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( a_{0} = 2, a_{2} = a_{-2} = \frac{1}{2}, a_{5} = -2j \) - Correto. B) \( a_{0} = 1, a_{2} = a_{-2} = 2, a_{3} = 3 \) - Incorreto. C) \( a_{0} = 2j, a_{2} = a_{-2} = 5, a_{5} = \frac{1}{2} \) - Incorreto. D) \( a_{0} = 1, a_{2} = a_{-2} = \frac{j}{2}, a_{4} = j \) - Incorreto. E) \( a_{0} = 2, a_{2} = a_{-2} = 2j, a_{3} = -2j \) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é a A: \( a_{0} = 2, a_{2} = a_{-2} = \frac{1}{2}, a_{5} = -2j \).