Para provar que a função \( f \) é contínua em \( p \) usando a definição de continuidade, precisamos mostrar que: \[ \lim_{x \to p} f(x) = f(p) \] Dado que temos a condição \( |f(x) - f(p)| \leq M |x - p| \), podemos usar isso para mostrar a continuidade. 1. Escolha de \( \epsilon \): Para qualquer \( \epsilon > 0 \), queremos encontrar um \( \delta > 0 \) tal que, se \( |x - p| < \delta \), então \( |f(x) - f(p)| < \epsilon \). 2. Usando a condição dada: Da condição \( |f(x) - f(p)| \leq M |x - p| \), podemos dizer que: \[ |f(x) - f(p)| < M |x - p| < \epsilon \] 3. Escolha de \( \delta \): Para garantir que \( M |x - p| < \epsilon \), podemos escolher \( \delta = \frac{\epsilon}{M} \). Assim, se \( |x - p| < \delta \), temos: \[ |f(x) - f(p)| < M |x - p| < M \cdot \frac{\epsilon}{M} = \epsilon \] Portanto, \( \lim_{x \to p} f(x) = f(p) \), o que mostra que \( f \) é contínua em \( p \). Outra maneira de mostrar o resultado: Podemos usar o conceito de Lipschitz, já que a condição \( |f(x) - f(p)| \leq M |x - p| \) implica que \( f \) é uma função Lipschitz contínua. Funções Lipschitz são contínuas em todos os pontos de seu domínio, o que também garante a continuidade de \( f \) em \( p \). Assim, concluímos que \( f \) é contínua em \( p \).