Para determinar se a transformação linear \( T(x, y) = (2x, 3y) \) possui uma inversa, precisamos verificar se ela é bijetiva (ou seja, injetiva e sobrejetiva). 1. Injetividade: A transformação é injetiva se \( T(x_1, y_1) = T(x_2, y_2) \) implica que \( (x_1, y_1) = (x_2, y_2) \). - Se \( (2x_1, 3y_1) = (2x_2, 3y_2) \), então \( 2x_1 = 2x_2 \) e \( 3y_1 = 3y_2 \). Isso implica que \( x_1 = x_2 \) e \( y_1 = y_2 \), portanto, \( T \) é injetiva. 2. Sobrejetividade: A transformação é sobrejetiva se, para todo \( (a, b) \in \mathbb{R}^2 \), existe um \( (x, y) \) tal que \( T(x, y) = (a, b) \). - Precisamos resolver \( (2x, 3y) = (a, b) \). Isso nos dá \( x = a/2 \) e \( y = b/3 \). Portanto, para qualquer \( (a, b) \), podemos encontrar \( (x, y) \). Como \( T \) é injetiva e sobrejetiva, ela possui uma inversa. Agora, vamos encontrar a inversa: - Se \( T(x, y) = (2x, 3y) \), então para encontrar \( T^{-1}(a, b) \), temos: - \( x = a/2 \) - \( y = b/3 \) Assim, a inversa é dada por \( T^{-1}(x, y) = (x/2, y/3) \). Portanto, a alternativa correta é: (b) A inversa de T existe e é dada por T−1(x, y) = (x/2, y/3).