Para encontrar \(\frac{df}{dt}\) da função \(f(x, y, z) = x^2 + 3y^3 + 2z\), onde \(x = \sin(t)\), \(y = \cos(3t)\) e \(z = \sin(4t)\), precisamos usar a regra da cadeia. 1. Derivadas parciais: - \(\frac{\partial f}{\partial x} = 2x\) - \(\frac{\partial f}{\partial y} = 9y^2\) - \(\frac{\partial f}{\partial z} = 2\) 2. Derivadas de \(x\), \(y\) e \(z\): - \(\frac{dx}{dt} = \cos(t)\) - \(\frac{dy}{dt} = -3\sin(3t)\) - \(\frac{dz}{dt} = 4\cos(4t)\) 3. Aplicando a regra da cadeia: \[ \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} + \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \frac{dz}{dt} \] Substituindo as derivadas: \[ \frac{df}{dt} = (2x)(\cos(t)) + (9y^2)(-3\sin(3t)) + (2)(4\cos(4t)) \] Simplificando: \[ \frac{df}{dt} = 2x\cos(t) - 27y^2\sin(3t) + 8\cos(4t) \] Agora, substituindo \(x\) e \(y\): - \(x = \sin(t)\) - \(y = \cos(3t)\) Portanto, a expressão final para \(\frac{df}{dt}\) é: \[ \frac{df}{dt} = 2\sin(t)\cos(t) - 27\cos^2(3t)\sin(3t) + 8\cos(4t) \] Assim, a resposta correta é: \[ \frac{df}{dt} = 2x\cos(t) - 27y^2\sin(3t) + 8\cos(4t) \]