Para encontrar o valor máximo da função \( f(x, y) = -2x^2 - y^2 + 32x + 20y \) sujeito à restrição \( x + y = 24 \), podemos usar o método de Lagrange. 1. Defina a função Lagrangiana: \[ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = -2x^2 - y^2 + 32x + 20y + \lambda(24 - x - y) \] 2. Calcule as derivadas parciais e iguale a zero: \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = -4x + 32 - \lambda = 0 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = -2y + 20 - \lambda = 0 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 24 - x - y = 0 \] 3. Resolva o sistema de equações: Da primeira equação, temos: \[ \lambda = 32 - 4x \] Da segunda equação: \[ \lambda = 20 - 2y \] Igualando as duas expressões para \( \lambda \): \[ 32 - 4x = 20 - 2y \] Rearranjando, obtemos: \[ 2y - 4x = -12 \quad \Rightarrow \quad y = 2x - 6 \] 4. Substitua na restrição: Substituindo \( y \) na restrição \( x + y = 24 \): \[ x + (2x - 6) = 24 \quad \Rightarrow \quad 3x - 6 = 24 \quad \Rightarrow \quad 3x = 30 \quad \Rightarrow \quad x = 10 \] Agora, substitua \( x \) para encontrar \( y \): \[ y = 2(10) - 6 = 14 \] 5. Ponto crítico: O ponto crítico é \( (10, 14) \). 6. Calcule o valor da função: \[ f(10, 14) = -2(10^2) - (14^2) + 32(10) + 20(14) \] \[ = -200 - 196 + 320 + 280 = 204 \] Portanto, o valor máximo da função \( f(x, y) \) sujeito à restrição \( x + y = 24 \) é 204.