Para encontrar a transformação linear \( T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) que satisfaz as condições dadas, precisamos expressar a transformação em termos de uma matriz. Dado que \( S(3,2,1) = (1,1) \), \( S(0,1,0) = (0,-2) \) e \( S(0,0,1) = (0,-1) \), podemos escrever a transformação como: \[ T(x,y,z) = a_1x + b_1y + c_1z, \quad T(x,y,z) = a_2x + b_2y + c_2z \] onde \( (a_1, a_2) \), \( (b_1, b_2) \) e \( (c_1, c_2) \) são os coeficientes que precisamos determinar. Usando os vetores dados: 1. Para \( S(3,2,1) = (1,1) \): \[ 3a_1 + 2b_1 + c_1 = 1 \] \[ 3a_2 + 2b_2 + c_2 = 1 \] 2. Para \( S(0,1,0) = (0,-2) \): \[ b_1 = 0 \] \[ b_2 = -2 \] 3. Para \( S(0,0,1) = (0,-1) \): \[ c_1 = 0 \] \[ c_2 = -1 \] Substituindo \( b_1 \) e \( c_1 \) nas equações do primeiro vetor: \[ 3a_1 + 2(0) + 0 = 1 \implies a_1 = \frac{1}{3} \] \[ 3a_2 + 2(-2) + (-1) = 1 \implies 3a_2 - 4 = 1 \implies 3a_2 = 5 \implies a_2 = \frac{5}{3} \] Assim, a transformação linear \( T \) pode ser expressa como: \[ T(x,y,z) = \left( \frac{1}{3}x - 2y, \frac{5}{3}x - y - 1 \right) \] Portanto, a transformação linear que atende às condições dadas é: \[ T(x,y,z) = \left( \frac{1}{3}x - 2y, \frac{5}{3}x - y - 1 \right) \]