Resolva a equação exata dy/dx + y tan(x) = 1. a) y = sec(x) + C b) y = 1/sin(x) + C c) y = cos(x) + C d) y = sin(x) + C e) y = cos(x) + x + C

Para resolver a equação diferencial exata \( \frac{dy}{dx} + y \tan(x) = 1 \), podemos utilizar o método de fator integrante. Primeiramente, identificamos a equação na forma padrão \( \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \), onde \( P(x) = \tan(x) \) e \( Q(x) = 1 \). Em seguida, multiplicamos toda a equação por um fator integrante \( \mu(x) \), que é dado por \( e^{\int P(x)dx} \). Neste caso, \( \mu(x) = e^{\int \tan(x)dx} = e^{\ln|\cos(x)|} = |\cos(x)| \). Multiplicando a equação original pelo fator integrante, obtemos: \( |\cos(x)|\frac{dy}{dx} + |\cos(x)|y\tan(x) = |\cos(x)| \) Agora, percebemos que a expressão \( |\cos(x)|y\tan(x) \) pode ser reescrita como \( \frac{d}{dx}(y\sin(x)) \) pela regra do produto. Assim, a equação se torna: \( \frac{d}{dx}(y\sin(x)) = |\cos(x)| \) Integrando ambos os lados em relação a \( x \), obtemos: \( y\sin(x) = \int |\cos(x)|dx + C \) \( y\sin(x) = \int \cos(x)dx + C \) \( y\sin(x) = \sin(x) + C \) Portanto, a solução da equação diferencial é: \( y = \frac{\sin(x) + C}{\sin(x)} = 1 + \frac{C}{\sin(x)} \) Assim, a alternativa correta é: b) \( y = \frac{1}{\sin(x)} + C \)