Qual é o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(9x)}{x} \)? A) 9 B) 0 C) 1 D) Infinito

Para encontrar o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(9x)}{x} \), podemos utilizar a propriedade trigonométrica \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1 \). Neste caso, como temos \( \tan(9x) \) no numerador, podemos substituir \( 9x \) por \( y \) para facilitar a resolução. Assim, o limite se torna \( \lim_{y \to 0} \frac{\tan(y)}{\frac{y}{9}} \). Pela propriedade trigonométrica mencionada, \( \lim_{y \to 0} \frac{\tan(y)}{y} = 1 \), então \( \lim_{y \to 0} \frac{\tan(y)}{\frac{y}{9}} = 9 \). Portanto, o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(9x)}{x} \) é 9. Assim, a alternativa correta é: A) 9.