Dado que f(x)=sen(2x) , qual é o valor médio de f no intervalo [0,π/4] ?

Para encontrar o valor médio de uma função \( f(x) \) em um intervalo, podemos usar a fórmula: \[ \text{Valor médio} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] No caso da função \( f(x) = \sin(2x) \) no intervalo \( [0, \frac{\pi}{4}] \), temos: \[ \text{Valor médio} = \frac{1}{\frac{\pi}{4} - 0} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin(2x) \, dx \] \[ = \frac{4}{\pi} \left[ -\frac{1}{2} \cos(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \] \[ = \frac{4}{\pi} \left( -\frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{2} \cos(0) \right) \] \[ = \frac{4}{\pi} \left( -\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 1 \right) \] \[ = \frac{4}{\pi} \cdot \frac{1}{2} \] \[ = \frac{2}{\pi} \] Portanto, o valor médio de \( f(x) = \sin(2x) \) no intervalo \( [0, \frac{\pi}{4}] \) é \( \frac{2}{\pi} \).