Grátis: 1. Determine o domínio das funções vetoriais a seguir: a) r⃗(t) = ⟨√4− t2, e−3t, ln(t+ 1)⟩ b) r⃗(t) = ⟨√2− t, et − 1/t, ln(t+ 1)⟩ c) r⃗(t) = ⟨cos t...

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1. Determine o domínio das funções vetoriais a seguir:
a) r⃗(t) = ⟨√4− t2, e−3t, ln(t+ 1)⟩
b) r⃗(t) = ⟨√2− t, et − 1/t, ln(t+ 1)⟩
c) r⃗(t) = ⟨cos t, ln 4− t, √t+ 1⟩
d) r⃗(t) = (t− 2)/(t+ 2)i + sin(t)j + ln(9− t2)k

Praticando Para o Saber

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Para determinar o domínio das funções vetoriais, precisamos analisar as restrições que cada componente da função impõe. a) Para a função vetorial a), temos que o domínio é dado por: - 4 - t^2 >= 0 (raiz quadrada de número negativo não é definida) - t + 1 > 0 (logaritmo natural de número negativo não é definido) Assim, o domínio da função vetorial a) é dado por: D = {t ∈ R | -2 ≤ t < 2} b) Para a função vetorial b), temos que o domínio é dado por: - 2 - t >= 0 (raiz quadrada de número negativo não é definida) - t + 1 > 0 (logaritmo natural de número negativo não é definido) - t ≠ 0 (divisão por zero não é definida) Assim, o domínio da função vetorial b) é dado por: D = {t ∈ R | 0 < t ≤ 2} c) Para a função vetorial c), temos que o domínio é dado por: - 4 - t >= 0 (logaritmo natural de número negativo não é definido) - t + 1 >= 0 (raiz quadrada de número negativo não é definida) Assim, o domínio da função vetorial c) é dado por: D = {t ∈ R | -1 ≤ t ≤ 4} d) Para a função vetorial d), não há restrições para as componentes i, j e k. No entanto, a função não é definida para t = ±2, pois nesse caso teríamos uma divisão por zero. Assim, o domínio da função vetorial d) é dado por: D = {t ∈ R | t ≠ ±2}

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2. Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada por:
a) r⃗ = ⟨t, 1⟩
b) r⃗(t) = ⟨sin t, t⟩
c) α⃗(t) = ⟨cos t, sin t⟩, 0 ≤ t ≤ 2π
d) β⃗(t) = ⟨t3, t2⟩
e) r⃗(t) = ⟨t, t3 − 10t+ 7⟩
f) r⃗(t) = ⟨2 cos(t), 2 sin(t), 3⟩

3. Determine uma equação vetorial e as equações paramétricas para o segmento de reta ligando os pontos a seguir:
a) P (1, 3,−2) e Q(2,−1, 3)
b) P (−1, 1,−1) e Q(−2,−1, 2)
c) P (4, 0,−3) e Q(5,−4, 2)
d) P (√2, 3,−2) e Q(7, 1,−4)
e) P (0,−1, 1) e Q(1/2, 1/3, 1/4)
f) P (a, b, c) e Q(u, v, w)

6. Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas
a) x = t5, y = t4, z = t3; (1, 1, 1)
b) x = t2 − 1, y = t2 + 1, z = t+ 1; (−1, 1, 1)
c) x = ln t, y = 2√t, z = t2; (0, 2, 1)
d) x = t, y = e−t, z = 2t− t2; (0, 1, 0)
e) x = t cos t, y = t, z = t sin t; (−π, π, 0)

7. Determine a derivada da função vetorial:
a) r(t) = ⟨t sin t, t2, cos 2t⟩
b) r(t) = ⟨tg t, sec t, 1/t2⟩
c) r(t) = 1/(1 + t)i + t/(1 + t)j + t2/(1 + t)k
d) r(t) = et/2 i − j + ln (1 + 3t)k
e) r(t) = at cos 3t i + b sen3 t j + c cos3 t k
f) r(t) = a.i + b.tj + c.t2k

8. Se r(t) = ⟨t, t2, t3⟩, encontre r′(t),T(1), r′′(t) e r′(t)× r′′(t).

9. Se r(t) = ⟨et, e−2t, te2t⟩, determine T(0), r′′(0) e r′(t) · r′′(t).

10. Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t dado.
a) r(t) = ⟨6t5, 4t3, 2t⟩, t = 1
b) r(t) = 4√ti + t2j + tk, t = 1
c) r(t) = cos(t)i + 3tj + 2 sen(2t)k, t = 0
d) r(t) = 2 sen(t)i + 2 cos(t)j + tg(t)k, t = π/4

11. Determine os vetores tangente e normal unitários T (t) e N(t)
a) r(t) = ⟨t, 3 cos t, 3 sen t⟩
b) r(t) = ⟨t2, sen t− cos t, cos t+ t sen t⟩
c) r(t) = ⟨√t, et, e−t⟩
d) r(t) = ⟨t, 1/2t2, t2⟩

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2. Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada por:a) r⃗ = ⟨t, 1⟩b) r⃗(t) = ⟨sin t, t⟩c) α⃗(t) = ⟨cos t, sin t⟩, 0 ≤ t ≤ 2πd) β⃗(t) = ⟨t3, t2⟩e) r⃗(t) = ⟨t, t3 − 10t+ 7⟩f) r⃗(t) = ⟨2 cos(t), 2 sin(t), 3⟩

7. Determine a derivada da função vetorial:a) r(t) = ⟨t sin t, t2, cos 2t⟩b) r(t) = ⟨tg t, sec t, 1/t2⟩c) r(t) = 1/(1 + t)i + t/(1 + t)j + t2/(1 + t)kd) r(t) = et/2 i − j + ln (1 + 3t)ke) r(t) = at cos 3t i + b sen3 t j + c cos3 t kf) r(t) = a.i + b.tj + c.t2k

8. Se r(t) = ⟨t, t2, t3⟩, encontre r′(t),T(1), r′′(t) e r′(t)× r′′(t).

9. Se r(t) = ⟨et, e−2t, te2t⟩, determine T(0), r′′(0) e r′(t) · r′′(t).

10. Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t dado.a) r(t) = ⟨6t5, 4t3, 2t⟩, t = 1b) r(t) = 4√ti + t2j + tk, t = 1c) r(t) = cos(t)i + 3tj + 2 sen(2t)k, t = 0d) r(t) = 2 sen(t)i + 2 cos(t)j + tg(t)k, t = π/4

11. Determine os vetores tangente e normal unitários T (t) e N(t)a) r(t) = ⟨t, 3 cos t, 3 sen t⟩b) r(t) = ⟨t2, sen t− cos t, cos t+ t sen t⟩c) r(t) = ⟨√t, et, e−t⟩d) r(t) = ⟨t, 1/2t2, t2⟩

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a) r⃗ = ⟨t, 1⟩
b) r⃗(t) = ⟨sin t, t⟩
c) α⃗(t) = ⟨cos t, sin t⟩, 0 ≤ t ≤ 2π
d) β⃗(t) = ⟨t3, t2⟩
e) r⃗(t) = ⟨t, t3 − 10t+ 7⟩
f) r⃗(t) = ⟨2 cos(t), 2 sin(t), 3⟩

7. Determine a derivada da função vetorial:
a) r(t) = ⟨t sin t, t2, cos 2t⟩
b) r(t) = ⟨tg t, sec t, 1/t2⟩
c) r(t) = 1/(1 + t)i + t/(1 + t)j + t2/(1 + t)k
d) r(t) = et/2 i − j + ln (1 + 3t)k
e) r(t) = at cos 3t i + b sen3 t j + c cos3 t k
f) r(t) = a.i + b.tj + c.t2k

10. Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t dado.
a) r(t) = ⟨6t5, 4t3, 2t⟩, t = 1
b) r(t) = 4√ti + t2j + tk, t = 1
c) r(t) = cos(t)i + 3tj + 2 sen(2t)k, t = 0
d) r(t) = 2 sen(t)i + 2 cos(t)j + tg(t)k, t = π/4

11. Determine os vetores tangente e normal unitários T (t) e N(t)
a) r(t) = ⟨t, 3 cos t, 3 sen t⟩
b) r(t) = ⟨t2, sen t− cos t, cos t+ t sen t⟩
c) r(t) = ⟨√t, et, e−t⟩
d) r(t) = ⟨t, 1/2t2, t2⟩