Grátis: 6- Obtenha um vetor normal ao plano π nos seguintes casos: a) π passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1) e C = (1, 2, 3) b) π tem equações ...

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6- Obtenha um vetor normal ao plano π nos seguintes casos: a) π passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1) e C = (1, 2, 3) b) π tem equações paramétricas { ???? = 1 + λ ???? = 2 − λ − β ???? = λ − 2β c) π tem equação geral x - 2y + 4z + 1 = 0

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a) Para obter um vetor normal ao plano π, podemos calcular o produto vetorial entre dois vetores que pertencem ao plano. Por exemplo, podemos calcular o vetor AB e o vetor AC e, em seguida, calcular o produto vetorial entre eles. Assim, temos: AB = B - A = (1, 0, 1) - (1, 1, 1) = (0, -1, 0) AC = C - A = (1, 2, 3) - (1, 1, 1) = (0, 1, 2) AB x AC = (-2, 0, 1) Portanto, um vetor normal ao plano π é (-2, 0, 1). b) Para obter um vetor normal ao plano π, podemos calcular o produto vetorial entre os vetores diretores do plano. Assim, temos: V1 = (1, 0, 0) V2 = (-1, -1, 1) V1 x V2 = (1, -1, -1) Portanto, um vetor normal ao plano π é (1, -1, -1). c) Para obter um vetor normal ao plano π, podemos observar que o coeficiente de x na equação geral do plano é o coeficiente do vetor normal. Assim, temos: (1, -2, 4) é um vetor normal ao plano π.

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1- Sejam B= (1,1,0) e C=(-1,0,1). Escreva equações paramétricas da reta que contém o ponto (3,3,3) e é paralela à reta BC.

2- São dados os pontos A=(3,-6,7); B=(-5,2,3) e C=(4,-7,-6). Escreva equações vetoriais e paramétricas para a reta determinada pelos pontos B e C e obtenha sua forma simétrica (se existir). O ponto D=(3,1,4) pertence a essa reta?

3- Sejam P = (4, 1, -1) e r: X = (2, 4, 1) + λ(1, -1, 2) a) Mostre que P ∈/ r. b) Obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P

7- Dê uma equação geral do plano π que passa pela origem e é perpendicular à reta que passa por A = (1, 1, 1) e B = (2, 1, −1).

8- Escreva uma equação vetorial e paramétrica da reta que passa por A = (1, 2, 3) e é perpendicular ao plano π : 2x+y−z = 2.

9- Obtenha equações gerias para os planos π descritos abaixo: a) π passa por A = (1, 0, 1) e B = (0, 1, -1) e é paralelo ao segmento CD, onde C = (1, 2, 1) e D = (0, 1, 0). b) π passa pelos pontos A = (1, 0, 1), B = (2, 1, -1) e C = (1, -1, 0)

10- Calcule n e m para que r : X = (m, 3, n) + λ(1, 1, n) seja paralela a π : nx − ny + mz = 1.

11- Sejam r : X = (1, 0, 2) + λ(2, 1, 3) e s : X = (0, 1, −1) + λ(1, m, 2m). Estude, segundo os valores de m, a posição relativa de r e s e obtenha, quando for o caso, uma equação geral no plano determinado por elas.

12- Verifique se as retas r e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de interseção: r : X = (1, 1, 0) + λ(1, 2, 3), s : X = (2, 3, 3) + λ(3, 2, 1)

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1- Sejam B= (1,1,0) e C=(-1,0,1). Escreva equações paramétricas da reta que contém o ponto (3,3,3) e é paralela à reta BC.

2- São dados os pontos A=(3,-6,7); B=(-5,2,3) e C=(4,-7,-6). Escreva equações vetoriais e paramétricas para a reta determinada pelos pontos B e C e obtenha sua forma simétrica (se existir). O ponto D=(3,1,4) pertence a essa reta?

3- Sejam P = (4, 1, -1) e r: X = (2, 4, 1) + λ(1, -1, 2) a) Mostre que P ∈/ r. b) Obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P

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11- Sejam r : X = (1, 0, 2) + λ(2, 1, 3) e s : X = (0, 1, −1) + λ(1, m, 2m). Estude, segundo os valores de m, a posição relativa de r e s e obtenha, quando for o caso, uma equação geral no plano determinado por elas.

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