Para estudar a posição relativa das retas \( r \) e \( s \), precisamos analisar os vetores diretores e os pontos que definem cada reta. 1. Retas Definidas: - A reta \( r \) é dada por \( \mathbf{X} = (1, 0, 2) + \lambda(2, 1, 3) \). - A reta \( s \) é dada por \( \mathbf{X} = (0, 1, -1) + \mu(1, m, 2m) \). 2. Vetores Diretores: - O vetor diretor de \( r \) é \( \mathbf{d_r} = (2, 1, 3) \). - O vetor diretor de \( s \) é \( \mathbf{d_s} = (1, m, 2m) \). 3. Condição de Paralelismo: As retas são paralelas se os vetores diretores são múltiplos um do outro. Isso ocorre se existir um escalar \( k \) tal que: \[ (2, 1, 3) = k(1, m, 2m) \] Isso gera o sistema: \[ 2 = k \\ 1 = km \\ 3 = k(2m) \] Substituindo \( k = 2 \) na segunda e terceira equações: - \( 1 = 2m \) → \( m = \frac{1}{2} \) - \( 3 = 4m \) → \( m = \frac{3}{4} \) Portanto, as retas são paralelas para \( m = \frac{1}{2} \) e \( m = \frac{3}{4} \). 4. Condição de Coincidência: Para que as retas sejam coincidentes, além de serem paralelas, os pontos de origem devem estar na mesma linha. Para \( m = \frac{1}{2} \) e \( m = \frac{3}{4} \), você deve verificar se o ponto de \( s \) pode ser expresso como uma combinação do ponto de \( r \). 5. Equação do Plano: Se as retas não forem paralelas, podemos encontrar um plano que as contém. Para isso, pegamos os vetores \( \mathbf{d_r} \) e \( \mathbf{d_s} \) e o vetor que liga um ponto de \( r \) a um ponto de \( s \): \[ \mathbf{p} = (0, 1, -1) - (1, 0, 2) = (-1, 1, -3) \] O vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial \( \mathbf{d_r} \times \mathbf{d_s} \). Calcule o produto vetorial e, em seguida, use um ponto de uma das retas para obter a equação do plano. Assim, a posição relativa das retas \( r \) e \( s \) depende do valor de \( m \) e pode ser estudada conforme descrito.