3- Sejam P = (4, 1, -1) e r: X = (2, 4, 1) + λ(1, -1, 2) a) Mostre que P ∈/ r. b) Obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P

Question

3- Sejam P = (4, 1, -1) e r: X = (2, 4, 1) + λ(1, -1, 2)  a) Mostre que P ∈/ r.  b) Obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P

Ed · Answer

a) Para verificar se o ponto P pertence à reta r, podemos encontrar um valor de λ que satisfaça a equação vetorial da reta com as coordenadas do ponto P. Substituindo as coordenadas de P na equação vetorial da reta, temos:

P = (4, 1, -1)
X = (2, 4, 1)
r: X = (2, 4, 1) + λ(1, -1, 2)

Substituindo as coordenadas de P na equação vetorial da reta, temos:

(4, 1, -1) = (2, 4, 1) + λ(1, -1, 2)
(2 + λ, 4 - λ, 1 + 2λ) = (4, 1, -1)

Resolvendo o sistema, temos:

2 + λ = 4
4 - λ = 1
1 + 2λ = -1

λ = -3

Substituindo λ = -3 na equação vetorial da reta, temos:

X = (2, 4, 1) - 3(1, -1, 2)
X = (-1, 7, -5)

Como o ponto P não coincide com o ponto encontrado na reta r, podemos concluir que P não pertence à reta r.

b) Para obter a equação geral do plano determinado por r e P, podemos utilizar o produto vetorial entre o vetor diretor da reta r e o vetor formado pelos pontos P e um ponto qualquer da reta r. Assim, temos:

Vetor diretor da reta r: v = (1, -1, 2)
Vetor formado pelos pontos P e um ponto qualquer da reta r: w = P - X = (4, 1, -1) - (2, 4, 1) = (2, -3, -2)

O produto vetorial entre v e w é dado por:

n = v x w = (4, 3, 3)

Assim, a equação geral do plano é dada por:

4x + 3y + 3z + d = 0

Para encontrar o valor de d, podemos substituir as coordenadas do ponto P na equação do plano:

4(4) + 3(1) + 3(-1) + d = 0
16 + 3 - 3 + d = 0
d = -16

Portanto, a equação geral do plano é:

4x + 3y + 3z - 16 = 0

Geometria Analítica

3- Sejam P = (4, 1, -1) e r: X = (2, 4, 1) + λ(1, -1, 2) a) Mostre que P ∈/ r. b) Obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P

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1- Sejam B= (1,1,0) e C=(-1,0,1). Escreva equações paramétricas da reta que contém o ponto (3,3,3) e é paralela à reta BC.

2- São dados os pontos A=(3,-6,7); B=(-5,2,3) e C=(4,-7,-6). Escreva equações vetoriais e paramétricas para a reta determinada pelos pontos B e C e obtenha sua forma simétrica (se existir). O ponto D=(3,1,4) pertence a essa reta?

6- Obtenha um vetor normal ao plano π nos seguintes casos: a) π passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1) e C = (1, 2, 3) b) π tem equações paramétricas { ???? = 1 + λ ???? = 2 − λ − β ???? = λ − 2β c) π tem equação geral x - 2y + 4z + 1 = 0

7- Dê uma equação geral do plano π que passa pela origem e é perpendicular à reta que passa por A = (1, 1, 1) e B = (2, 1, −1).

8- Escreva uma equação vetorial e paramétrica da reta que passa por A = (1, 2, 3) e é perpendicular ao plano π : 2x+y−z = 2.

9- Obtenha equações gerias para os planos π descritos abaixo: a) π passa por A = (1, 0, 1) e B = (0, 1, -1) e é paralelo ao segmento CD, onde C = (1, 2, 1) e D = (0, 1, 0). b) π passa pelos pontos A = (1, 0, 1), B = (2, 1, -1) e C = (1, -1, 0)

10- Calcule n e m para que r : X = (m, 3, n) + λ(1, 1, n) seja paralela a π : nx − ny + mz = 1.

11- Sejam r : X = (1, 0, 2) + λ(2, 1, 3) e s : X = (0, 1, −1) + λ(1, m, 2m). Estude, segundo os valores de m, a posição relativa de r e s e obtenha, quando for o caso, uma equação geral no plano determinado por elas.

12- Verifique se as retas r e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de interseção: r : X = (1, 1, 0) + λ(1, 2, 3), s : X = (2, 3, 3) + λ(3, 2, 1)

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