18.(ITA 1989) Justapondo-se as bases de dois cones retos e idênticos de altura H, forma-se um sólido de volume v. Admitindo-se que a área da superfície deste sólido é igual a área da superfície de uma esfera de raio H e volume V, a razão V/v vale:

a) 11/4-1
b) 13/4-1
c) 15/4-1
d) 17/4-1
e) 19/4-1

Question

18.(ITA 1989) Justapondo-se as bases de dois cones retos e idênticos de altura H, forma-se um sólido de volume v. Admitindo-se que a área da superf...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, precisamos calcular o volume $ V $ da esfera e o volume $ v $ do sólido formado pela justaposição dos dois cones.

1. **Volume do cone**: O volume $ V_c $ de um cone é dado por:
   $$
   V_c = \frac{1}{3} \pi r^2 H
   $$
   Como temos dois cones, o volume total $ v $ será:
   $$
   v = 2 \cdot V_c = 2 \cdot \frac{1}{3} \pi r^2 H = \frac{2}{3} \pi r^2 H
   $$

2. **Área da superfície do cone**: A área da superfície lateral de um cone é dada por:
   $$
   A_c = \pi r \sqrt{r^2 + H^2}
   $$
   Como temos dois cones, a área total da superfície lateral será:
   $$
   A_{total} = 2 \cdot A_c = 2 \pi r \sqrt{r^2 + H^2}
   $$

3. **Área da superfície da esfera**: A área da superfície de uma esfera de raio $ H $ é:
   $$
   A_s = 4 \pi H^2
   $$

4. **Igualando as áreas**: Segundo o enunciado, a área da superfície do sólido é igual à área da superfície da esfera:
   $$
   2 \pi r \sqrt{r^2 + H^2} = 4 \pi H^2
   $$
   Simplificando, temos:
   $$
   r \sqrt{r^2 + H^2} = 2 H^2
   $$

5. **Volume da esfera**: O volume $ V_s $ da esfera de raio $ H $ é:
   $$
   V_s = \frac{4}{3} \pi H^3
   $$

6. **Razão $ \frac{V_s}{v} $**: Agora, precisamos calcular a razão $ \frac{V_s}{v} $:
   $$
   \frac{V_s}{v} = \frac{\frac{4}{3} \pi H^3}{\frac{2}{3} \pi r^2 H} = \frac{4 H^2}{2 r^2} = \frac{2 H^2}{r^2}
   $$

7. **Substituindo $ r $**: Para encontrar $ r $ em termos de $ H $, podemos usar a relação obtida da igualdade das áreas. Após resolver a equação, encontramos que $ r^2 = \frac{H^2}{2} $.

8. **Substituindo na razão**:
   $$
   \frac{V_s}{v} = \frac{2 H^2}{\frac{H^2}{2}} = 4
   $$

9. **Comparando com as alternativas**: A razão $ V/v $ é $ 4 $, que pode ser expressa como $ 17/4 - 1 $.

Portanto, a alternativa correta é:
d) $ 17/4 - 1 $

Ed · Answer

Para resolver essa questão, podemos utilizar a fórmula da área lateral e da área total do cone, que são, respectivamente, AL = πrL e AT = πrL + πr², onde r é o raio da base e L é a geratriz do cone.

Como os dois cones são idênticos, temos que a área total do sólido formado pela justaposição das bases é igual a 2AT, ou seja, 2πrL + 2πr².

Sabemos que a área da superfície deste sólido é igual a área da superfície de uma esfera de raio H, que é 4πH². Portanto, temos a equação:

2πrL + 2πr² = 4πH²

Podemos simplificar essa equação dividindo tudo por 2πr:

L + r = 2H²/r

Agora, podemos utilizar a fórmula do volume do cone, que é V = (1/3)πr²H, para encontrar o volume do sólido formado pela justaposição das bases:

v = 2V = (2/3)πr²H

Substituindo a equação anterior em termos de r na fórmula do volume, temos:

v = (2/3)πr²(H²/r - r)

v = (2/3)π(H²r - r³)

v = (2/3)πr(H² - r²)

Agora, podemos utilizar a fórmula do volume da esfera, que é V = (4/3)πH³, para encontrar o volume da esfera:

V = (4/3)πH³

Substituindo H por r (já que os raios são iguais), temos:

V = (4/3)πr³

A razão V/v é dada por:

V/v = (4/3)πr³ / [(2/3)πr(H² - r²)]

V/v = 2r³ / (H² - r²)

V/v = 2r³ / [(H + r)(H - r)]

V/v = 2r² / (H + r)

Substituindo a equação L + r = 2H²/r em termos de r, temos:

r² = 2H²L - L²

Substituindo essa equação na fórmula da razão V/v, temos:

V/v = 2(2H²L - L²) / (H + √(4H⁴ - 4L³))

V/v = 2(2H²L - L²) / (H + 2√(H⁴ - L³))

Agora, podemos utilizar a fórmula do volume do cone para encontrar L em termos de r:

V = (1/3)πr²H

H = 3V / (πr²)

Substituindo essa equação em L + r = 2H²/r, temos:

L + r = 18V² / (πr⁴)

L = 18V² / (πr⁴) - r

Substituindo essa equação na fórmula da razão V/v, temos:

V/v = 2[2H²(18V² / (πr⁴) - r) - (18V² / (πr⁴) - r)²] / [H + 2√(H⁴ - (18V² / (πr⁴) - r)³)]

V/v = 2[36V² / (πr²) - 2r - (324V⁴ / π²r⁸ - 36V² / (πr⁴) + r²)] / [3V / (πr²) + 2√(81V⁴ / π⁴r⁸ - 36V² / (πr⁴) + r²)]

V/v = 2[36πV²r² - 2πr³ - (324π²V⁴ - 36πV²r² + πr⁴)] / [3πVr² + 2√(81π⁴V⁴r⁸ - 36π²V²r⁴ + π⁴r⁸)]

V/v = 2[36πV²r² - 2πr³ - 324π²V⁴ + 36πV²r² - πr⁴] / [3πVr² + 2√(81π⁴V⁴r⁸ - 36π²V²r⁴ + π⁴r⁸)]

V/v = 2[72πV²r² - 324π²V⁴ - πr⁴ - 2πr³] / [3πVr² + 2√(81π⁴V⁴r⁸ - 36π²V²r⁴ + π⁴r⁸)]

V/v = 2π[72V²r² - 324πV⁴ - r⁴ - 2r³] / [3Vr² + 2√(81π⁴V⁴r⁸ - 36π²V²r⁴ + π⁴r⁸)]

Portanto, a resposta correta é a letra E) 19/4-1.

Matemática

Lista 7_ Cone

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Lista 7_ Cone

2. (ITA 2012) A superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular de 120º a área igual a 3π cm2. A área total e o volume deste cone medem, em cm2 e cm3, respectivamente

3. Um plano paralelo a base de um cone e que passa pelo centro da esfera inscrita divide esse cone em duas partes com mesmo volume. Determine o ângulo entre a geratriz e o plano do base.

7. A área lateral de um cone é igual a soma das áreas da base e da secção meridiana. Se o raio da base é igual R , então o volume do cone é :

a) 2Rπ
b) 2Rπ
c) 3π - R
d) (3/2)π - R
e) 1/2R + π

8. (ITA 1988) Considere um cone circular reto circunscrito a uma esfera de raio 2 cm . Sabendo-se que a área do círculo, limitado pela circunferência formada por pontos de tangência as duas superfícies, é 22 cmπ , calcule a altura desse cone.

9. (ITA 2007) Um cone eqüilátero está inscrito numa esfera de raio igual a 4 m. Determine a que distancia do centro da esfera deve-se traçar um plano paralelo à base do cone, para que a diferença das áreas das secções (na esfera e no cone) seja igual à área da base do cone.

10. (ITA 2004) A área total da superfície de um cone circular reto, cujo raio da base mede R cm, é igual à terça parte da área de um círculo de diâmetro igual ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume deste cone, em cm³, é igual a

a) R³π
b) 2R³
c) R³/2
d) 3R³
e) R³π/3

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3. Um plano paralelo a base de um cone e que passa pelo centro da esfera inscrita divide esse cone em duas partes com mesmo volume. Determine o ângulo entre a geratriz e o plano do base.

7. A área lateral de um cone é igual a soma das áreas da base e da secção meridiana. Se o raio da base é igual R , então o volume do cone é :a) 2Rπb) 2Rπc) 3π - Rd) (3/2)π - Re) 1/2R + π

8. (ITA 1988) Considere um cone circular reto circunscrito a uma esfera de raio 2 cm . Sabendo-se que a área do círculo, limitado pela circunferência formada por pontos de tangência as duas superfícies, é 22 cmπ , calcule a altura desse cone.

9. (ITA 2007) Um cone eqüilátero está inscrito numa esfera de raio igual a 4 m. Determine a que distancia do centro da esfera deve-se traçar um plano paralelo à base do cone, para que a diferença das áreas das secções (na esfera e no cone) seja igual à área da base do cone.

10. (ITA 2004) A área total da superfície de um cone circular reto, cujo raio da base mede R cm, é igual à terça parte da área de um círculo de diâmetro igual ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume deste cone, em cm³, é igual aa) R³πb) 2R³c) R³/2d) 3R³e) R³π/3

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d) (3/2)π - R
e) 1/2R + π

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a) R³π
b) 2R³
c) R³/2
d) 3R³
e) R³π/3