Determine uma base do subespaço W de R4 gerado por w1=(−1,4,2,−1) , w2=(1,−3,−1,2) e w3=(4,−10,−2,10) . a. {w1,w3} b. {w1,w2,w3} c. {w1,w2} d. {w1} e. {w2,w3}

Question

Determine uma base do subespaço W  de R4  gerado por w1=(−1,4,2,−1) , w2=(1,−3,−1,2)  e w3=(4,−10,−2,10) .  a. {w1,w3}  b. {w1,w2,w3}  c. {w1,w2}  ...

Ed · Answer

Para determinar uma base do subespaço $ W $ gerado pelos vetores $ w_1, w_2 $ e $ w_3 $, precisamos verificar a linearidade entre eles. Isso pode ser feito organizando os vetores em uma matriz e realizando operações de eliminação para encontrar a independência linear.

Os vetores são:
- $ w_1 = (-1, 4, 2, -1) $
- $ w_2 = (1, -3, -1, 2) $
- $ w_3 = (4, -10, -2, 10) $

Vamos montar a matriz com esses vetores como linhas:

$$
\begin{pmatrix}
-1 & 4 & 2 & -1 \
1 & -3 & -1 & 2 \
4 & -10 & -2 & 10
\end{pmatrix}
$$

Agora, aplicamos operações de linha para simplificar a matriz e verificar a independência linear. Após realizar as operações, podemos observar que $ w_3 $ pode ser escrito como uma combinação linear de $ w_1 $ e $ w_2 $. Portanto, $ w_3 $ não é necessário para a base.

Assim, os vetores $ w_1 $ e $ w_2 $ são linearmente independentes e geram o subespaço $ W $.

Portanto, a base do subespaço $ W $ é dada por:

c) {w1, w2}

Ed · Answer

Para determinar uma base do subespaço W gerado por w1, w2 e w3, podemos utilizar o método de redução por linhas para encontrar a matriz escalonada reduzida da matriz formada pelos vetores w1, w2 e w3.

Realizando as operações elementares na matriz, obtemos:

[ -1  1  4 ]
[  4 -3 -10]
[  2 -1  -2]
[ -1  2  10]

A matriz escalonada reduzida é:

[ 1  0  2 ]
[ 0  1  3 ]
[ 0  0  0 ]
[ 0  0  0 ]

Podemos observar que as duas primeiras colunas possuem pivôs, enquanto a terceira coluna não possui pivô. Isso significa que os vetores w1 e w2 formam uma base para o subespaço W, já que são linearmente independentes e geram todo o subespaço.

Portanto, a resposta correta é a alternativa c) {w1,w2}.

Geometria Analítica

Atividade Unidade IV

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Atividade Unidade IV

Considere a transformação linear T:R3→R3 dada por T(x,y,z)=(z,x−y,−z). Assinale a alternativa INCORRETA.
a. TT é sobrejetora
b. dim(Ker(T))=1
c. KerT={(1,1,0)}
d. dim(Im(T))=2
e. ImT={(1,0,−1),(0,1,0)}

Calcule a imagem da transformação linear T:R4→R3 definida por: T(x,y,s,t)=(x−y+s+t,x+2s−t,x+y+3s−3t) a. ImT={(x,x−y,x−2y);x,y∈R} b. ImT={(x,2x+y,−x+2y);x,y∈R} c. ImT={(x,x+2y,x+y);x,y∈R} d. ImT={(x,x+2y,x−2y);x,y∈R} e. ImT={(x,x+y,x+2y);x,y∈R}

Qual dos vetores abaixo é uma combinação linear dos vetores v1=(1,2,0) e v2=(−1,2,0).

a. (1,6,0).
b. (1,1,2).
c. (1,5,6).
d. (0,3,0).
e. (2,0,1).

Considere a transformação linear S:R3→R3 definida por: S(x,y,z)=(x+2z,y,−z) . Calcule 2S . a. (2S)(x,y,z)=(2x+z,2z,2y) b. (2S)(x,y,z)=(x+4z,−y,−2z) c. (2S)(x,y,z)=(2x,2y,2z) d. (2S)(x,y,z)=(2x−4z,z,2y+z) e. (2S)(x,y,z)=(2x+4z,2y,−2z)

Determine o subespaço de R^3 gerado por v_1=(1,-2,-1) e v_2=(2,1,1).
a. {(x,y,z)∈ R^3 |2x-3y+5z=0}
b. {(x,y,z)∈R^3 |x+y-z=0}
c. {(x,y,z)∈R^3 |x+3y-5z=0}
d. {(x,y,z)∈R^3 |x+y+5z=0}
e. {(x,y,z)∈R^3 |x-2y+5z=0}

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Considere a transformação linear T:R3→R3 dada por T(x,y,z)=(z,x−y,−z). Assinale a alternativa INCORRETA.a. TT é sobrejetorab. dim(Ker(T))=1c. KerT={(1,1,0)}d. dim(Im(T))=2e. ImT={(1,0,−1),(0,1,0)}

Calcule a imagem da transformação linear T:R4→R3 definida por: T(x,y,s,t)=(x−y+s+t,x+2s−t,x+y+3s−3t) a. ImT={(x,x−y,x−2y);x,y∈R} b. ImT={(x,2x+y,−x+2y);x,y∈R} c. ImT={(x,x+2y,x+y);x,y∈R} d. ImT={(x,x+2y,x−2y);x,y∈R} e. ImT={(x,x+y,x+2y);x,y∈R}

Qual dos vetores abaixo é uma combinação linear dos vetores v1=(1,2,0) e v2=(−1,2,0).a. (1,6,0).b. (1,1,2).c. (1,5,6).d. (0,3,0).e. (2,0,1).

Considere a transformação linear S:R3→R3 definida por: S(x,y,z)=(x+2z,y,−z) . Calcule 2S . a. (2S)(x,y,z)=(2x+z,2z,2y) b. (2S)(x,y,z)=(x+4z,−y,−2z) c. (2S)(x,y,z)=(2x,2y,2z) d. (2S)(x,y,z)=(2x−4z,z,2y+z) e. (2S)(x,y,z)=(2x+4z,2y,−2z)

Determine o subespaço de R^3 gerado por v_1=(1,-2,-1) e v_2=(2,1,1).a. {(x,y,z)∈ R^3 |2x-3y+5z=0}b. {(x,y,z)∈R^3 |x+y-z=0}c. {(x,y,z)∈R^3 |x+3y-5z=0}d. {(x,y,z)∈R^3 |x+y+5z=0}e. {(x,y,z)∈R^3 |x-2y+5z=0}

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a. TT é sobrejetora
b. dim(Ker(T))=1
c. KerT={(1,1,0)}
d. dim(Im(T))=2
e. ImT={(1,0,−1),(0,1,0)}

Qual dos vetores abaixo é uma combinação linear dos vetores v1=(1,2,0) e v2=(−1,2,0).

a. (1,6,0).
b. (1,1,2).
c. (1,5,6).
d. (0,3,0).
e. (2,0,1).

Determine o subespaço de R^3 gerado por v_1=(1,-2,-1) e v_2=(2,1,1).
a. {(x,y,z)∈ R^3 |2x-3y+5z=0}
b. {(x,y,z)∈R^3 |x+y-z=0}
c. {(x,y,z)∈R^3 |x+3y-5z=0}
d. {(x,y,z)∈R^3 |x+y+5z=0}
e. {(x,y,z)∈R^3 |x-2y+5z=0}