Considere as transformações lineares T:R3→R3 e S:R3→R3 definidas por: T(x,y,z)=(2x,x−y,y+z) e S(x,y,z)=(x+2z,y,−z) . Calcule T⋅S . a. (T⋅S)(x,y,z)=(x+4z,x−y+z,y−2z) . b. (T⋅S)(x,y,z)=(2x+4z,x+2z,y+z) . c. (T⋅S)(x,y,z)=(2x+4z,x−y+2z,y−z) . d. (T⋅S)(x,y,z)=(2x−4z,x+y+z,y+z) . e. (T⋅S)(x,y,z)=(2x+z,2x−2y+4z,2y−z) .

Question

Considere as transformações lineares T:R3→R3  e S:R3→R3  definidas por: T(x,y,z)=(2x,x−y,y+z)  e S(x,y,z)=(x+2z,y,−z) . Calcule T⋅S .  a. (T⋅S)(x,y...

Ed · Answer

Para calcular a composição das transformações lineares $ T $ e $ S $, precisamos aplicar $ S $ primeiro e, em seguida, aplicar $ T $ ao resultado.

As transformações são definidas como:
- $ T(x,y,z) = (2x, x - y, y + z) $
- $ S(x,y,z) = (x + 2z, y, -z) $

Primeiro, vamos aplicar $ S $ a um vetor $ (x, y, z) $:
$$
S(x, y, z) = (x + 2z, y, -z)
$$

Agora, vamos aplicar $ T $ ao resultado de $ S $:
$$
T(S(x, y, z)) = T(x + 2z, y, -z)
$$

Substituindo na definição de $ T $:
$$
T(x + 2z, y, -z) = (2(x + 2z), (x + 2z) - y, y + (-z))
$$
$$
= (2x + 4z, x + 2z - y, y - z)
$$

Portanto, temos:
$$
(T \cdot S)(x, y, z) = (2x + 4z, x + 2z - y, y - z)
$$

Agora, vamos analisar as alternativas:
a) $ (T \cdot S)(x,y,z) = (x + 4z, x - y + z, y - 2z) $ - Incorreto.
b) $ (T \cdot S)(x,y,z) = (2x + 4z, x + 2z, y + z) $ - Incorreto.
c) $ (T \cdot S)(x,y,z) = (2x + 4z, x - y + 2z, y - z) $ - Correto.
d) $ (T \cdot S)(x,y,z) = (2x - 4z, x + y + z, y + z) $ - Incorreto.
e) $ (T \cdot S)(x,y,z) = (2x + z, 2x - 2y + 4z, 2y - z) $ - Incorreto.

A alternativa correta é:
**c) $ (T \cdot S)(x,y,z) = (2x + 4z, x - y + 2z, y - z) $**.

Ed · Answer

Para calcular T⋅S, precisamos multiplicar as matrizes associadas às transformações lineares T e S.

A matriz associada à transformação linear T é:

| 2  1  0 |
| 1 -1  1 |
| 0  1  1 |

A matriz associada à transformação linear S é:

| 1  0  2 |
| 0  1  0 |
| 0  0 -1 |

Para calcular T⋅S, multiplicamos essas matrizes:

| 2  1  0 |   | 1  0  2 |   | 4  2  2 |
| 1 -1  1 | x | 0  1  0 | = | 1 -1  2 |
| 0  1  1 |   | 0  0 -1 |   | 0 -2 -1 |

Portanto, a alternativa correta é a letra c: (T⋅S)(x,y,z)=(2x+4z,x−y+2z,y−z).

Cálculo

Atividade Unidade IV

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Considere a transformação linear T:R3→R3 dada por T(x,y,z)=(z,x−y,−z). Assinale a alternativa INCORRETA.
a. TT é sobrejetora
b. dim(Ker(T))=1
c. KerT={(1,1,0)}
d. dim(Im(T))=2
e. ImT={(1,0,−1),(0,1,0)}

Calcule a imagem da transformação linear T:R4→R3 definida por: T(x,y,s,t)=(x−y+s+t,x+2s−t,x+y+3s−3t) a. ImT={(x,x−y,x−2y);x,y∈R} b. ImT={(x,2x+y,−x+2y);x,y∈R} c. ImT={(x,x+2y,x+y);x,y∈R} d. ImT={(x,x+2y,x−2y);x,y∈R} e. ImT={(x,x+y,x+2y);x,y∈R}

Qual dos vetores abaixo é uma combinação linear dos vetores v1=(1,2,0) e v2=(−1,2,0).

a. (1,6,0).
b. (1,1,2).
c. (1,5,6).
d. (0,3,0).
e. (2,0,1).

Considere a transformação linear S:R3→R3 definida por: S(x,y,z)=(x+2z,y,−z) . Calcule 2S . a. (2S)(x,y,z)=(2x+z,2z,2y) b. (2S)(x,y,z)=(x+4z,−y,−2z) c. (2S)(x,y,z)=(2x,2y,2z) d. (2S)(x,y,z)=(2x−4z,z,2y+z) e. (2S)(x,y,z)=(2x+4z,2y,−2z)

Determine uma base do subespaço W de R4 gerado por w1=(−1,4,2,−1) , w2=(1,−3,−1,2) e w3=(4,−10,−2,10) . a. {w1,w3} b. {w1,w2,w3} c. {w1,w2} d. {w1} e. {w2,w3}

Determine o subespaço de R^3 gerado por v_1=(1,-2,-1) e v_2=(2,1,1).
a. {(x,y,z)∈ R^3 |2x-3y+5z=0}
b. {(x,y,z)∈R^3 |x+y-z=0}
c. {(x,y,z)∈R^3 |x+3y-5z=0}
d. {(x,y,z)∈R^3 |x+y+5z=0}
e. {(x,y,z)∈R^3 |x-2y+5z=0}

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Considere a transformação linear T:R3→R3 dada por T(x,y,z)=(z,x−y,−z). Assinale a alternativa INCORRETA.a. TT é sobrejetorab. dim(Ker(T))=1c. KerT={(1,1,0)}d. dim(Im(T))=2e. ImT={(1,0,−1),(0,1,0)}

Calcule a imagem da transformação linear T:R4→R3 definida por: T(x,y,s,t)=(x−y+s+t,x+2s−t,x+y+3s−3t) a. ImT={(x,x−y,x−2y);x,y∈R} b. ImT={(x,2x+y,−x+2y);x,y∈R} c. ImT={(x,x+2y,x+y);x,y∈R} d. ImT={(x,x+2y,x−2y);x,y∈R} e. ImT={(x,x+y,x+2y);x,y∈R}

Qual dos vetores abaixo é uma combinação linear dos vetores v1=(1,2,0) e v2=(−1,2,0).a. (1,6,0).b. (1,1,2).c. (1,5,6).d. (0,3,0).e. (2,0,1).

Considere a transformação linear S:R3→R3 definida por: S(x,y,z)=(x+2z,y,−z) . Calcule 2S . a. (2S)(x,y,z)=(2x+z,2z,2y) b. (2S)(x,y,z)=(x+4z,−y,−2z) c. (2S)(x,y,z)=(2x,2y,2z) d. (2S)(x,y,z)=(2x−4z,z,2y+z) e. (2S)(x,y,z)=(2x+4z,2y,−2z)

Determine uma base do subespaço W de R4 gerado por w1=(−1,4,2,−1) , w2=(1,−3,−1,2) e w3=(4,−10,−2,10) . a. {w1,w3} b. {w1,w2,w3} c. {w1,w2} d. {w1} e. {w2,w3}

Determine o subespaço de R^3 gerado por v_1=(1,-2,-1) e v_2=(2,1,1).a. {(x,y,z)∈ R^3 |2x-3y+5z=0}b. {(x,y,z)∈R^3 |x+y-z=0}c. {(x,y,z)∈R^3 |x+3y-5z=0}d. {(x,y,z)∈R^3 |x+y+5z=0}e. {(x,y,z)∈R^3 |x-2y+5z=0}

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Considere a transformação linear T:R3→R3 dada por T(x,y,z)=(z,x−y,−z). Assinale a alternativa INCORRETA.
a. TT é sobrejetora
b. dim(Ker(T))=1
c. KerT={(1,1,0)}
d. dim(Im(T))=2
e. ImT={(1,0,−1),(0,1,0)}

Qual dos vetores abaixo é uma combinação linear dos vetores v1=(1,2,0) e v2=(−1,2,0).

a. (1,6,0).
b. (1,1,2).
c. (1,5,6).
d. (0,3,0).
e. (2,0,1).

Determine o subespaço de R^3 gerado por v_1=(1,-2,-1) e v_2=(2,1,1).
a. {(x,y,z)∈ R^3 |2x-3y+5z=0}
b. {(x,y,z)∈R^3 |x+y-z=0}
c. {(x,y,z)∈R^3 |x+3y-5z=0}
d. {(x,y,z)∈R^3 |x+y+5z=0}
e. {(x,y,z)∈R^3 |x-2y+5z=0}