Matemática - Teórico_VOLUME4

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Caro aluno 
Ao elaborar o seu material inovador, completo e moderno, o Hexag considerou como principal diferencial sua exclusiva metodologia em pe-
ríodo integral, com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado. O material didático é composto por 6 cadernos 
de aula e 107 livros, totalizando uma coleção com 113 exemplares. O conteúdo dos livros é organizado por aulas temáticas. Cada assunto 
contém uma rica teoria que contempla, de forma objetiva e transversal, as reais necessidades dos alunos, dispensando qualquer tipo de 
material alternativo complementar. Para melhorar a aprendizagem, as aulas possuem seções específicas com determinadas finalidades. A 
seguir, apresentamos cada seção:
No decorrer das teorias apresentadas, oferecemos uma cuidadosa 
seleção de conteúdos multimídia para complementar o repertório 
do aluno, apresentada em boxes para facilitar a compreensão, com 
indicação de vídeos, sites, filmes, músicas, livros, etc. Tudo isso é en-
contrado em subcategorias que facilitam o aprofundamento nos 
temas estudados – há obras de arte, poemas, imagens, artigos e até 
sugestões de aplicativos que facilitam os estudos, com conteúdos 
essenciais para ampliar as habilidades de análise e reflexão crítica, 
em uma seleção realizada com finos critérios para apurar ainda mais 
o conhecimento do nosso aluno.
multimídia
Um dos grandes problemas do conhecimento acadêmico é o seu 
distanciamento da realidade cotidiana, o que dificulta a compreensão 
de determinados conceitos e impede o aprofundamento nos temas 
para além da superficial memorização de fórmulas ou regras. Para 
evitar bloqueios na aprendizagem dos conteúdos, foi desenvolvida 
a seção “Vivenciando“. Como o próprio nome já aponta, há uma 
preocupação em levar aos nossos alunos a clareza das relações entre 
aquilo que eles aprendem e aquilo com que eles têm contato em 
seu dia a dia.
vivenciando
Sabendo que o Enem tem o objetivo de avaliar o desempenho ao 
fim da escolaridade básica, organizamos essa seção para que o 
aluno conheça as diversas habilidades e competências abordadas 
na prova. Os livros da “Coleção Vestibulares de Medicina” contêm, 
a cada aula, algumas dessas habilidades. No compilado “Áreas de 
Conhecimento do Enem” há modelos de exercícios que não são 
apenas resolvidos, mas também analisados de maneira expositiva 
e descritos passo a passo à luz das habilidades estudadas no dia. 
Esse recurso constrói para o estudante um roteiro para ajudá-lo a 
apurar as questões na prática, a identificá-las na prova e a resolvê-
-las com tranquilidade.
áreas de conhecimento do Enem
Cada pessoa tem sua própria forma de aprendizado. Por isso, cria-
mos para os nossos alunos o máximo de recursos para orientá-los 
em suas trajetórias. Um deles é o ”Diagrama de Ideias”, para aque-
les que aprendem visualmente os conteúdos e processos por meio 
de esquemas cognitivos, mapas mentais e fluxogramas.
Além disso, esse compilado é um resumo de todo o conteúdo 
da aula. Por meio dele, pode-se fazer uma rápida consulta aos 
principais conteúdos ensinados no dia, o que facilita a organiza-
ção dos estudos e até a resolução dos exercícios.
diagrama de ideias
Atento às constantes mudanças dos grandes vestibulares, é ela-
borada, a cada aula e sempre que possível, uma seção que trata 
de interdisciplinaridade. As questões dos vestibulares atuais não 
exigem mais dos candidatos apenas o puro conhecimento dos 
conteúdos de cada área, de cada disciplina.
Atualmente há muitas perguntas interdisciplinares que abrangem 
conteúdos de diferentes áreas em uma mesma questão, como Bio-
logia e Química, História e Geografia, Biologia e Matemática, entre 
outras. Nesse espaço, o aluno inicia o contato com essa realidade 
por meio de explicações que relacionam a aula do dia com aulas 
de outras disciplinas e conteúdos de outros livros, sempre utilizan-
do temas da atualidade. Assim, o aluno consegue entender que 
cada disciplina não existe de forma isolada, mas faz parte de uma 
grande engrenagem no mundo em que ele vive.
conexão entre disciplinas
Herlan Fellini
De forma simples, resumida e dinâmica, essa seção foi desenvol-
vida para sinalizar os assuntos mais abordados no Enem e nos 
principais vestibulares voltados para o curso de Medicina em todo 
o território nacional.
incidência do tema nas principais provas
Todo o desenvolvimento dos conteúdos teóricos de cada coleção 
tem como principal objetivo apoiar o aluno na resolução das ques-
tões propostas. Os textos dos livros são de fácil compreensão, com-
pletos e organizados. Além disso, contam com imagens ilustrativas 
que complementam as explicações dadas em sala de aula. Qua-
dros, mapas e organogramas, em cores nítidas, também são usados 
e compõem um conjunto abrangente de informações para o aluno 
que vai se dedicar à rotina intensa de estudos.
teoria
Essa seção foi desenvolvida com foco nas disciplinas que fazem 
parte das Ciências da Natureza e da Matemática. Nos compilados, 
deparamos-nos com modelos de exercícios resolvidos e comenta-
dos, fazendo com que aquilo que pareça abstrato e de difícil com-
preensão torne-se mais acessível e de bom entendimento aos olhos 
do aluno. Por meio dessas resoluções, é possível rever, a qualquer 
momento, as explicações dadas em sala de aula.
aplicação do conteúdo
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SUMÁRIO
MATEMÁTICA
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA E TRIGONOMETRIA
GEOMETRIA ESPACIAL
Aulas 27 e 28: Funções compostas 6
Aulas 29 e 30: Funções trigonométricas 10
Aulas 31 e 32: Equações e inequações modulares 30
Aulas 33 e 34: Funções modulares 37
Aulas 27 e 28: Inequações trigonométricas 48
Aulas 29 e 30: Princípio fundamental da contagem 53
Aulas 31 e 32: Fatorial, permutação simples e permutação com repetição 58
Aulas 33 e 34: Arranjos 65
Aulas 27 e 28: Volume de prismas 74
Aulas 29 e 30: Pirâmides e troncos de pirâmides 81
Aulas 31 e 32: Cilindros 93
Aulas 33 e 34: Cones e troncos de cone reto 100
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Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
5
ÁLGEBRA: Incidência do tema nas principais provas
UFMG
A prova trará uma questão sobre as funções, 
na primeira ou segunda fase. Questões com 
temas aplicados ao nosso cotidiano ocorrem 
com frequência.
A prova exigirá conceitos mais específicos 
sobre as funções estudadas neste livro, e 
equações e inequações podem aparecer com 
grau elevado de dificuldade.
Na primeira e segunda fase podem aparecer 
funções modulares com função trigonométrica 
aplicada, em questões muito bem elaboradas 
e com elevado grau de dificuldade.
Questões de função composta e trigono-
métricas podem aparecer relacionadas com 
questões de domínio e imagem.
Questões elaboradas com boa interpretação 
de texto em funções trigonométricas. Dentre 
os temas abordados, módulo pode ser o 
mais difícil.
Apresenta alta incidência de função com-
posta, além de questões sobre inequações 
modulares e funções trigonométricas muito 
difíceis.
A prova possui questões com elevado grau de 
dificuldade.
A prova do Enem tem baixa incidência em 
questões das funções abordadas. Mesmo assim, 
quando aparece, pode ser uma questão difícil.
Funções modulares aparecem pouco e funções 
compostas ocorrem bastante. Os temas são 
abordados em questões com elevado grau de 
dificuldade.
O candidato pode se deparar com funções 
compostas em questões contextualizadas e 
medianas. Funções trigonométricas ocorrerão 
de forma objetiva
A prova de Matemática é diferente da prova 
do Enem, com questões de pouco texto e mais 
objetividade. Saber os conceitos de funções 
trigonométricas é fundamental.
A prova apresenta questões com os temas 
deste livro junto com outros grandes temas da 
Matemática.
A prova apresenta poucas questões, porém, 
abordando vários temas da Matemática. 
Assim, o candidato deve trazer todos os 
conceitos anteriores para somar com as aulas 
deste livro.
A prova de Matemática é muito bem 
elaborada, por isso, as aulas deste livro são 
totalmente necessárias para a resolução das 
questões.
A prova apresenta questões bem elaboradas 
em aritmética. Podem ocorrer questões de 
módulos e sua função, além de funções 
trigonométricas.
6
 FUNÇÕES COMPOSTAS
COMPETÊNCIAS: 3, 4 e 5 HABILIDADES:
12, 15, 17, 18, 19, 
20 e 21
AULAS 
27 E 28
1. FUNÇÕES COMPOSTAS
1.1. Definição
Considere as funções f: A B e g: B C. Lembre-se de que:
 A é o conjunto domínio da função f;
 B é o contradomínio da função f e domínio da função g; e
 C é o contradomínio da função g.
É chamada de função composta de g com f a função g + f: 
A C, tal que: 
(g + f)(x) = g”f(x)”
Na forma de diagrama, tem-se:
x
A
B
C
f(x)
gf
g o f
g[f(x)]
Note que, como a função g + f associa valores do conjun-
to A diretamente a valores do conjunto C, o domínio da 
função composta é A, e seu contradomínio é o conjunto C.
Observe um procedimento análogo para as funções f: A 
B, definida por f(x) = 2x, e g: A C, definida por 
g(x) = x2. Perceba que o contradomínio B da função 
f é o mesmo domínio da função g.
 f: A B: a cada x [ A associa-se um único y [ A, tal 
que y = 2x
 g: A C: a cada y [ B associa-se um único z [ C, 
tal que z = y2
Nesse caso, é possível considerar uma terceira função 
h: A C, que faz a composição entre as funções f e g:
A B
f g
z
h
yx
C
 h: A C: a cada x [ A associa-se um único z [ C, tal 
que z = y2 = (2x)2 = 4x2
Essa função h de A em C, dada por h(x) = 4x2, é denomina-
da função composta de g e f.
De modo geral, para indicar como o elemento z [ C é de-
terminado de modo único pelo elemento x [ A, escreve-se:
z = g(y) = g(f(x))
1.1.1. Notação
A função composta de g e f será indicada por g + f 
(lê-se: g círculo f).
(g + f)(x) = g(f(x))
Resolução de funções compostas
FONTE: YOUTUBE
multimídia: vídeo
 Aplicação do conteúdo
1. Sendo f(x) = 2x – 1 e f”g(x)” = 3 – x, determine g(x).
 Como tem-se f[g(x)], substitui-se x por g(x) em f(x):
f(x) = 2x – 1
f[g(x)] = 2g(x) – 1
7
 Como se sabe que f[g(x)] = 3 – x, tem-se:
2g(x) – 1 = 3 – x 
 Isolando g(x):
g(x) = 4 – x ____ 
2
 
2. Sendo f(x) = 2x + 1 e f o f(k) = 5, calcule o valor de k.
 Se f o f(k) = 5, então f(f(k)) = 5. Calculando f(k):
f(k) = 2k + 1
 Calculando f(f(k)):
f(f(k)) = f(2k + 1)
 Substituindo na função f:
f(2k + 1) = 2(2k + 1) + 1 = 4k + 3
 Como f(f(k)) = f(2k + 1) = 5, tem-se:
4k + 3 = 5
k = 1 __ 
2
 
3. Se f(x) = 1 _____ 
x − 8
 e g(x) = 2x2, encontre o domínio da 
função f(g(x)).
 O domínio da função f(x) pode ser calculado da se-
guinte maneira:
x – 8 ≠ 0
x ≠ 8
 No entanto, observe que, calculandof(g(x)), obtém-se:
f(g(x)) = 1 ______ 
2x2 – 8
 
 Note que é possível calcular:
f(g(8)) = 1 _______ 
2(8)2 – 8
 = 1 ___ 
120
 
 Ou seja, os domínios de f(x) e de f(g(x)) são diferentes. 
O domínio da composta deve ser calculado a partir da 
própria f(g(x)):
f(g(x)) = 1 ______ 
2x2 − 8
 
 O domínio é dado por:
2x2 − 8 ≠ 0
x2 ≠ 4
x ≠ ±2
 Assim, o domínio de f(g(x)) é R − {±2}.
1.2. Condição de existência
 Domínio de f(Df) seja igual ao contradomínio de g(CDg).
 Contradomínio de f(CDf) seja igual ao domínio de g(Dg).
Exemplo
Considere:
f: A B g: B C
f(x) = 2x – 3 g(x) = 5x
Assim:
Em f: Em g:
Para x = 1, tem-se: Para x= –1, tem-se:
f(1) = 2 · 1 – 3 = –1 g(– 1) = 5 · (–1) = –5
Para x = 2, tem-se: Para x = 1, tem-se:
f(2) = 2 · 2 – 3 = 1 g(1) = 5 · 1 = 5
Para x = 3, tem-se: Para x = 3, tem-se:
f(3) = 2 · 3 – 3 = 3 g(3) = 5 · 3 = 15
A função composta é utilizada em diversas situações. Por exemplo, quando é possível relacionar mais de duas gran-
dezas por meio de uma mesma função. Pode-se dizer que a concentração de monóxido de carbono na atmosfera de 
uma determinada cidade depende da quantidade de carros que trafega por ela; no entanto, a quantidade de carros 
varia com o tempo. Em consequência, a concentração de monóxido de carbono varia com o tempo, o que determina 
uma função composta.
VIVENCIANDO
8
As funções compostas estão diretamente relacionadas às ações geológicas da Terra. Um geofísico, por exemplo, ao 
analisar precipitações no interior do planeta ou ao estudar características de novos planetas, necessita de mais de 
duas grandezas para relacionar temperatura, relevo, altura e pressões do ambiente. Além disso, as funções compostas 
também estão presentes na Medicina. No procedimento médico conhecido como angioplastia, os médicos inserem 
um cateter numa veia ou artéria e inflam um pequeno balão de formato esférico até que ele atinja certo volume. Por 
meio da função composta, pode-se determinar o tempo que o balão leva para atingir o volume necessário.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
Na forma de diagrama, tem-se:
1
A
B
C
g(-1)g(1)g(3)
f(1)
f(2)
f(3)
-5
h(1)
h(2)
h(3)
5
15
-1
1
3
2
3
Note que existe uma função h que transforma diretamente 
os elementos de A em C. Assim:
 h: A C
 h(x) = g(f(x)) = g(2x – 3) = 5 · (2x – 3) = 10x – 15
 h(1) = 10 · 1 – 15 = –5
 h(2) = 10 · 2 – 15 = 5
 h(3) = 10 · 3 – 15 = 15
 h(x) = 10x – 15 é denominada função composta de g 
com f, podendo ser representada por:
h(x) = (g + f) (x) lê-se “g bola f de x”.
ou
h(x) = g(f(x)) lê-se “g de f de x”.
Assim, segue que h representa a aplicação da função g em 
f, e a função f, por sua vez, aplica-se em x.
9
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
D(f) = CD(g)
CD(f) = D(g)
A
B
C
(g o f) (x) = g[f(x)]
FUNÇÃO COMPOSTA
REPRESENTANDO 
EM DIAGRAMA
f: A B
g: B C
g o f: A C 
REPRESENTAÇÃO DA 
FUNÇÃO COMPOSTA
x
f(x)
g(x)
g o f
f g
 DIAGRAMA DE IDEIAS
10
 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
COMPETÊNCIAS: 3, 4 e 5 HABILIDADES:
12, 15, 17, 18, 19, 
20 e 21
AULAS 
29 E 30
1. ESTUDO DA FUNÇÃO SENO
Dado um número real x, podemos associar a ele o valor do 
seno de um ângulo (ou arco) de x radianos:
R R
Em razão disso, definimos a função seno como a função 
real de variáveis reais que associa a cada número real x o 
valor real senx, ou seja:
f: R é R
x é f(x) = senx
Já foi estudado o processo que permite associar um núme-
ro real x à medida x de um ângulo (ou arco) para posterior 
obtenção do valor senx; bem como já foi estudado como 
obter os valores de senx para quaisquer valores x de medi-
das de ângulos (ou arco). A título de lembrança, x – medida 
de ângulo (ou arco), é expresso em radianos.
1.1. Gráfico da função seno
Para montar o gráfico da função seno, é necessário construir 
uma tabela com valores de x da primeira volta positiva. Há 
casos em que o seno será usado com valores aproximados.
x 0 p __ 6 
p
 __ 4 
p
 __ 3 
p
 __ 2 
2p ___ 
3
 3p ___ 
4
 5p ___ 
6
 p
senx 0 1 __ 
2
 
dXX 2 ___ 
2
 
dXX 3 ___ 
2
 1 
dXX 3 ___ 
2
 
dXX 2 ___ 
2
 1 __ 
2
 0
senx 0 0,5 0,7 0,9 1 0,9 0,7 0,5 0
x 7p ___ 
6
 5p ___ 
4
 4p ___ 
3
 3p ___ 
2
 5p ___ 
3
 7p ___ 
4
 11p ____ 
6
 2p
senx – 1 __ 
2
 – 
dXX 2 ___ 
2
 – 
dXX 3 ___ 
2
 –1 – 
dXX 3 ___ 
2
 – 
dXX 2 ___ 
2
 – 1 __ 
2
 0
senx –0,5 –0,7 –0,9 –1 –0,9 –0,7 –0,5 0
Primeiramente, observe o gráfico para x [ [0, 2p]; e DM 
seguida, para x [ R:
11
Uma vez que a função f(x) = senx é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínio é R, a curva pode ser esten-
dida para valores de x menores que zero e maiores que 2p. Portanto, o gráfico da função f: R é R, definida por f(x) = senx, é 
a curva chamada senoide, cujo aspecto é este:
Observações sobre a função seno
1. O domínio de f(x) = senx [ R, uma vez que, para qualquer valor real de x, existe um e apenas um valor para senx.
2. O conjunto imagem de f(x) = senx é o intervalo [–1, 1].
3. A função seno não é sobrejetiva, uma vez que [–1, 1] i R, isto é, sua imagem não é igual ao contradomínio.
4. A função seno não é injetiva, uma vez que os valores diferentes de x resultam no mesmo f(x). Por exemplo:
sen p __ 
2
 = sen 5p ___ 
2
 = sen ( – 3p ___ 2 ) = ... = 1
5. A função seno é função ímpar, isto é, seja qual for x [ D(f) = R, sen (–x) = –sen(x). Por exemplo:
sen ( – p __ 6 ) = –sen ( 
p __ 6 ) = – 
1 __ 
2
 
1.2. Periodicidade da função seno
Ao observar o gráfico da função seno, nota-se que a função 
repete periodicamente seus valores nos intervalos ..., [–2p, 0], 
[0, 2p], [2p, 4p],... Por isso, diz-se que a função seno é periódica.
Como se pode observar no gráfico anterior:
senx = sen(x + 2p) = sen(x + 4p) = ... para todo x [ R
Por isso, diz-se que o período da função seno é 2p, e 
indica-se p = 2p.
Para encontrar o período, basta observar no gráfico o desloca-
mento horizontal necessário para que ele comece a se repetir.
1.3. Sinal da função seno
Ao observar o sinal da função seno, nota-se que a função é 
positiva – para valores do primeiro e segundo quadrantes – 
e negativa – para valores do terceiro e quarto quadrantes.
12
1.4. Variação da função seno
Considerando valores de x [ [0, 2p], observe o que acon-
tece com senx1 e senx2, para x1 > x2 nos quatro quadrantes:
PRIMEIRO QUADRANTE
x1
x2
SEGUNDO QUADRANTE
x1
x2
TERCEIRO QUADRANTE
x1
x2
QUARTO QUADRANTE
x2
x1
No gráfico:
Analisada a variação em cada quadrante, obtém-se o se-
guinte quadro:
 Primeiro quadrante: se x cresce de 0 a p __ 
2
 , senx cresce 
de 0 a 1.
 Segundo quadrante: se x cresce de p __ 
2
 a p, senx decres-
ce de 1 a 0.
 Terceiro quadrante: se x cresce de p a 3p ___ 
2
 , senx decres-
ce de 0 a –1.
 Quarto quadrante: se x cresce de 3p ___ 
2
 a 2p, senx cresce 
de –1 a 0.
1.5. Resumo sobre a função seno
1. Função seno é a função de R em R definida por f(x) = senx.
2. A função seno tem D = R e Im = [–1, 1].
3. A função seno não é injetiva nem sobrejetiva.
4. A função seno é função ímpar, isto é, –senx = sen(–x), 
 x R.
5. A função seno é periódica p = 2p.
6. senx = 0, para x = kp, com k [ Z.
7. senx > 0, para x do 1º e 2º quadrantes e senx = 1 
para x = p __ 
2
 + 2kp, com k [ Z.
8. senx < 0, para x do 3° e 4° quadrantes e senx = –1 
para x = 3p ___ 
2
 + 2kp, com k [ Z.
 Aplicação do conteúdo
1. Determine os valores reais que m pode assumir, para 
que exista um número real x que satisfaça a igualdade 
senx = 2m – 3.
Resolução:
Condição: –1 ≤ senx ≤ 1 ä –1 ≤ 2m – 3 ≤ 1
Resolvida a dupla desigualdade, obtém-se:
–1 ≤ 2m – 3 ≤ 1 ä –1 + 3 ≤ 2m ≤ 1 + 3 ä 2 ≤ 2m ≤ 4 
ä 1 ≤ m ≤ 2
13
Logo, os valores de m são dados pelo conjunto:
{m [ R | 1 ≤ m ≤ 2}
2. Determine os valores reais de m para os quais a 
equação senx = m2 – m – 1 tenha solução.
Resolução:
Condição: –1 ≤ senx≤ 1 ä –1 ≤ m2 – m – 1 ≤ 1
Resolvida a dupla desigualdade, obtém-se:
m2 – m – 1 ≤ 1 ä m2 – m – 2 ≤ 0
D = 9
m’ = 2 e m” = –1
S1 = {m [ R | –1 ≤ m ≤ 2}
m2 – m – 1 ≥ –1 ä m2 – m ≥ 0
D = 1
m’ = 1 e m” = 0
S2 = {m [ R | m ≤ 0 ou m ≥ 1}
Quadro de resolução:
Os valores de m são dados por:
{m [ R | –1 ≤ m ≤ 0 ou 1 ≤ m ≤ 2}
3. Determine os valores máximo e mínimo da função 
y = 2 + 3 · senx.
Resolução:
Para –1, que é o valor mínimo de senx, obtém-se:
 y = 2 + 3(–1) = –1.
Para 1, que é o valor máximo de senx, obtém-se:
y = 2 + 3 · 1 = 5.
Logo, ymin = –1 e ymax = 5.
Observação: dessa forma, também pode-se afirmar que 
a imagem dessa função é [–1, 5].
2. ESTUDO DA FUNÇÃO COSSENO
Dado um número real x, pode-se associar a ele o valor do 
cosseno de um ângulo (ou arco) de x radianos:
Em razão disso, define-se a função cosseno como a função 
real de variáveis reais, que associa a cada número real x, 
cosseno de x, ou seja:
f: R é R
x é f(x) = cosx
Já foi estudado o processo que permite associar um núme-
ro real x à medida x de um ângulo (ou arco) para se obter 
o valor cosx. Estudou-se também como obter os valores de 
cosx para quaisquer valores x de medidas de ângulos (ou 
arco). A título de lembrança, x, medida de ângulo (ou arco), 
é expresso em radianos.
2.1. Gráfico da função cosseno
Inicialmente, vamos construir o gráfico da função f(x) = cosx, para x [ [0, 2p] e, em seguida, para x [ R. Alguns valores 
de cosx serão aproximados.
x 0 p __ 6 
p
 __ 4 
p
 __ 3 
p
 __ 2 
2p ___ 
3
 3p ___ 
4
 5p ___ 
6
 p 7p ___ 
6
 5p ___ 
4
 4p ___ 
3
 3p ___ 
2
 5p ___ 
3
 7p ___ 
4
 11p ____ 
6
 2p
cosx 1 dXX 3 ___ 2 
 dXX 2 ___ 
2
 1 __ 
2
 0 – 1 __ 
2
 – 
dXX 2 ___ 
2
 – 
√
__
 3 ___ 
2
 –1 – 
dXX 3 ___ 
2
 – 
dXX 2 ___ 
2
 – 1 __ 
2
 0 1 __ 
2
 
dXX 2 ___ 
2
 
dXX 3 ___ 
2
 1
cosx 1 0,9 0,7 0,5 0 –0,5 –0,7 –0,9 –1 –0,9 –0,7 –0,5 0 0,5 0,7 0,9 1
14
Uma vez que a função f(x) = cosx é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínio é , a cur-
va pode ser estendida para valores menores que zero e maiores que 2p. Por isso, o gráfico da função f: R é R, 
definida por f(x) = cosx, é a curva chamada de cossenoide, cujo aspecto é este:
Observações sobre a função cosseno
1. A cossenoide não é uma nova curva, mas uma senoi-
de transladada p __ 
2
 unidades para a esquerda. Observe no 
gráfico da senoide que, se o eixo y for inscrito no ponto 
de abscissa x = p __ 
2
 , obtém-se exatamente o gráfico 
daquela cossenoide. Resultado: a maioria dos as-
pectos relevantes da função cosseno é a mesma da 
função seno.
2. O domínio é o mesmo – f: R é R tal que f(x) = cosx 
tem D = .
3. A imagem é a mesma – f: R é R tal que f(x) = cosx 
tem Im = [–1, 1].
4. O período é o mesmo – a função cosseno é periódi-
ca de período p = 2p.
5. A função cosseno não é injetiva nem sobrejetiva.
6. A função cosseno é par, pois cos(-x)=cos(x) ? x [ R
As diferenças entre a função cosseno e a função seno di-
zem respeito aos aspectos que dependem dos valores das 
imagens associados aos domínios, que transladam p __ 
2
 uni-
dades para a esquerda.
2.2. Sinal da função cosseno
Ao observar o sinal da função f(x) = cosx, nota-se que a 
função cosseno é positiva, para valores do primeiro e do 
quarto quadrantes, e negativa, para valores do segundo e 
do terceiro quadrantes.
15
2.3. Variação da função cosseno
Analisada a variação no intervalo [0, 2p], obtém-se este 
quadro:
 Primeiro quadrante: 
se x cresce de 0 a p __ 
2
 , cosx decresce de 1 a 0.
 Segundo quadrante: 
se x cresce de p __ 
2
 a p, cosx decresce de 0 a –1.
 Terceiro quadrante: 
se x cresce de p a 3p ___ 
2
 , cosx cresce de –1 a 0.
 Quarto quadrante: 
se x cresce de 3p ___ 
2
 a 2p, cosx cresce de 0 a 1.
 Aplicação do conteúdo
1. Calcule o valor de sen ( – p __ 6 ) + cos ( – 
p __ 
4
 ) .
Resolução:
Uma vez que a função seno é ímpar, sen(–x) = –senx.
Portanto, sen ( – p __ 6 ) = –sen p __ 6 = – 1 __ 2 .
Uma vez que a função cosseno é par, cos(–x) = cosx.
Portanto, cos ( – p __ 4 ) = cos p __ 4 = 
 dXX 2 ___ 
2
 .
Assim, sen ( – p __ 6 ) + cos ( – p __ 4 ) = – 1 __ 2 + 
 dXX 2 ___ 
2
 = 
dXX 2 – 1 ______ 
2
 .
3. ESTUDO DA FUNÇÃO TANGENTE
Por definição, função tangente é a função real de variáveis 
reais, que associa a cada número real x o valor tgx, desde 
que x não seja p __ 
2
 nem 3p ___ 
2
 ; bem como nenhum de seus res-
pectivos arcos côngruos, isto é:
f: D ∫ R
x ∫ f(x) = tgx
do qual D = { x [ R | x ≠ p __ 2 + kp, k [ Z } .
Já foi estudado o processo que permite associar um núme-
ro real x à medida x de um ângulo (ou arco) para se obter 
o valor de tgx. Estudou-se também como obter os valores 
de tgx para quaisquer valores de x ( x ≠ p __ 2 + kp, k [ Z ) 
de medidas de ângulos (ou arcos). A título de lembrança, x, 
medida do ângulo (ou arco), é expresso em radianos.
3.1. Gráfico da função tangente
Inicialmente, vamos construir o gráfico da função f(x) = tgx 
no intervalo [0, 2p].
À medida que x tende aos valores em que tgx não existe 
( p __ 2 , 3p ___ 2 ) e seus respectivos arcos côngruos, como ( 5p ___ 2 , 7p ___ 2 etc. ), 
o gráfico da tangente tende ao infinito (positivo ou negati-
vo). As retas verticais tracejadas nesses valores são chama-
das assíntotas verticais, ou seja, retas essas cujo ponto de 
intersecção com o gráfico tende ao infinito.
Uma vez que o domínio da função f(x) = tgx corresponde 
a D = R – { x [ R | x = p __ 2 + kp, k [ Z } , a curva pode ser 
estendida para valores menores que zero e maiores que 
2p. Portanto, o gráfico da função f: D ∫ R, definida por 
f(x) = tgx, é a curva chamada tangentoide, cujo aspecto 
é este:
À luz desse gráfico, é possível fazer algumas afirmações 
sobre a função tangente:
 Tem D(f) = { x [ R | x ≠ p __ 2 + kp, com k [ Z } e Im(f) = R.
 A função tangente não é injetiva, e sim sobrejetiva.
 A função tangente é função ímpar, isto é, tg(–x) = –tgx, 
? x [ D(f).
16
 A função tangente é periódica p = p, isto é, 
tgx = tg(x + kp), com k [ Z e x [ D(f).
3.2. Sinal da função tangente
Ao observar o sinal da função tangente, nota-se que a função 
é positiva, para valores do primeiro e do terceiro quadrantes, 
e negativa, para valores do segundo e do quarto quadrantes.
3.3. Variação da função tangente
Analisado o gráfico da função f(x) = tgx, obtém-se:
 Primeiro quadrante: 
se x cresce de 0 a p __ 
2
 , tgx cresce de 0 a +Ü.
 Segundo quadrante: 
se x cresce de p __ 
2
 a p, tgx cresce de –Ü a 0.
 Terceiro quadrante: 
se x cresce de p a 3p ___ 
2
 , tgx cresce de 0 a +Ü.
 Quarto quadrante: 
se x cresce de 3p ___ 
2
 a 2p, tgx cresce de –Ü a 0.
4. FUNÇÕES COSSECANTE, 
SECANTE E COTANGENTE
À luz das ideias já conhecidas de seno, cosseno e tangente 
de x, definem-se cossecante, secante e cotangente de x.
 cossecx = 1 ____ sen x , para senx ≠ 0
 secx = 1 ____ cos x , para cosx ≠ 0
 cotgx = cos x ____ sen x , para senx ≠ 0
Se senx ≠ 0 e cosx ≠ 0, pode-se também escrever cotgx = 1 ___ tg x .
Veja o exemplo a seguir:
Se sen p __ 
6
 = 1 __ 
2
 , cos p __ 
6
 = 
dXX 3 ___ 
2
 e tg p __ 
6
 = √
__
 3 ___ 
3
 , pode-se calcular:
 cossec p __ 
6
 = 1 __ 
 1 __ 
2
 
 = 2 __ 
1
 = 2
 sec p __ 
6
 = 1 ___ 
 
dXX 3 ___ 
2
 
 = 2 ___ 
 dXX 3 
 = 2 
dXX 3 ____ 
3
 
 cotg p __ 
6
 = 
 
dXX 3 ___ 
2
 
 ___ 
 1 __ 
2
 
 = 2 
dXX 3 ____ 
2
 = dXX 3 ou cotg p __ 
6
 = 1 ___ 
 
dXX 3 ___ 
3
 
 = 3 ___ 
 dXX 3 
 = dXX 3 
4.1. Função cossecante
Chama-se função cossecante a função definida por 
f(x) = cossecx ou f(x) = 1 ____ sen x , para todo x [ R, tal que senx ≠ 0.
D(f) = {x [ R | x ≠ kp, com k [ Z} 
e Im(f) = {y [ R | y ≤ – 1 ou y ≥ 1}4.1.1. Gráfico de f(x) = cossecx
Se x tende aos valores em que a cossecx não existe, o gráfico da cossecante tende ao infinito (positivo ou negativo). As verticais 
tracejadas nesses valores de x são chamadas assíntotas.
17
4.2. Função secante
Chama-se de função secante a função definida por f(x) = sec x ou f(x) = 1 ____ cos x , para todo x [ R, tal que cos x ≠ 0.
D(f) = { x [ R | x ≠ p __ 2 + kp, com k [ Z } 
e Im(f) = {y [ R | y ≤ – 1 ou y ≥ 1}
4.2.1. Gráfico de f(x) = sec x
4.3. Função cotangente
Chama-se função cotangente a função definida por f(x) = cotgx ou f(x) = cos x ____ sen x , para todo x [ R, tal que sen x ≠ 0.
D(f) = {x [ R | x ≠ kp, com k [ Z} e Im(f) = R
4.3.1. Gráfico de f(x) = cotg x
5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Além das funções trigonométricas estudadas, há ou-
tras que compreendem seno, cosseno, tangente, cos-
secante, secante e cotangente, chamadas de funções 
do tipo trigonométricas.
Por exemplo, as funções f, g, h e i, tais que:
 f(x) = 2 + cosx, com x [ R
 g(x) = sen2x, com x [ R
 h(x) = tgx + secx, com x ≠ p __ 
2
 + kp, com k [ Z
 i(x) = 1 – cossecx, com x ≠ kp, com k [ Z
5.1. Domínio de funções do 
tipo trigonométricas
O domínio de uma função do tipo trigonométrica é deter-
minado pela análise da condição de existência da função e 
de alguma restrição à própria expressão que a define.
18
 Aplicação do conteúdo
1. Construa e analise os gráficos das funções abaixo 
dando o seu domínio, sua imagem e seu período.
f(x) = 3 · senx
Resolução:
x senx 3 · senx y = f(x)
0 0 3 · 0 = 0 0
 p __ 2 1 3 · 1 = 3 3
p 0 3 · 0 = 0 0
 3p ___ 2 –1
3(–1) 
= –3
–3
2p 0 3 · 0 = 0 0
D = , Im = [–3, 3], p = 2p
f(x) = 1 + cosx
Resolução:
x cosx 1 + cosx y = f(x)
0 1 1 + 1 = 2 2
 p __ 2 0 1 + 0 = 1 1
p –1
1 + (–1) 
= 0
0
 3p ___ 2 0 1 + 0 = 1 1
2p 1 1 + 1 = 2 2
D = , Im = [0, 2], p = 2p
2. Determine, em cada item, o domínio da função f.
a) f(x) = 1 _______ 
1 – cos x
 
Resolução:
Se 1 – cosx ≠ 0, ou seja, se cosx 1 e se cosx = 1 para x = 2kp, 
logo:
D(f) = {x [ R | x 2kp, com k [ Z}
b) f(x) = dXXXXXX sen x 
Resolução:
Se senx ≥ 0, é possível obterem-se valores de x de acordo 
com a figura. Logo:
D(f) = {x [ R | 2kp ≤ x ≤ (2k + 1)p, com k [ Z}
c) f(x) = tg 3x
Resolução:
A condição de existência é de 3x ≠ p __ 
2
 + kp.
Daí, 3x ≠ p __ 
2
 + kp ä x ≠ p __ 
6
 + kp ___ 
3
 . Logo:
D(f) = { x [ R | x ≠ p __ 6 + kp ___ 3 , com k [ Z } . 
d) f(x) = secx + cossecx
Resolução:
Para que haja secx, deve haver cosx ≠ 0, ou seja, x ≠ p __ 
2
 + kp.
Para que haja cossecx, deve haver senx ≠ 0, ou seja, x ≠ kp.
A função f dada tem, portanto, como domínio:
D(f) = { x [ R | x ≠ k · p __ 2 , com k [ Z } .
19
5.2. Gráfico de uma função 
do tipo trigonométrica
 Aplicação do conteúdo
1.Trace os gráficos destas funções:
a) f(x) = 2 + senx
Resolução:
É necessário atribuírem-se valores a x, calcular y, marcar os 
pontos e traçar o gráfico por esses pontos. Para que o gráfico fi-
que bem definido, o ângulo deve ser igual a 0, p __ 
2
 , p, 3p ___ 
2
 e 2p:
f(x) = y = 2 + senx
x = 0 ∫ y = 2 + sen0 = 2 + 0 = 2
x = p __ 
2
 ∫ y = 2 + sen p __ 
2
 = 2 + 1 = 3
x = p ∫ y = 2 + senp = 2 + 0 = 2
x = 3p ___ 
2
 ∫ y = 2 + sen 3p ___ 
2
 = 2 – 1 = 1
x = 2p ∫ y = 2 + sen 2p ∫ = 2 + 0 = 2
 
período = 2p
imagem = [1, 3]
Observação
Se comparado ao gráfico da função f(x) = senx com 
f(x) = 2 + senx, observa-se que ele sofreu um desloca-
mento (translação) de duas unidades para cima.
f(x) = senx
f(x) = 2 + senx
Considerada a função do tipo f(x) = a + senx, o gráfico 
de f(x) = senx será transladado para cima (a > 0) ou 
para baixo (a < 0) em a unidades.
b) f(x) = 2 · senx
Resolução:
x = 0 ∫ y = 2 · sen0 = 2 · 0 = 0
x = p __ 
2
 ∫ y = 2 · sen p __ 
2
 = 2 · 1 = 2
x = p ∫ y = 2 · senp = 2 · 0 = 0
x = 3p ___ 
2
 ∫ y = 2 · sen 3p ___ 
2
 = 2 · (–1) = –2
x = 2p ∫ y = 2 · sen2p = 2 · 0 = 0
período = 2p
imagem = [–2, 2]
Observação
Se comparado ao gráfico da função f(x) = senx 
com f(x) = 2 · senx, observa-se que ele sofreu uma 
dilatação vertical (esticou) duas vezes.
f(x) = senx
20
f(x) = 2 · senx
Considerada a função do tipo f(x) = b · senx, o gráf-
ico de f(x) = senx será dilatado, se |b| > 1; ou, se 
0 < |b|< 1, será comprimido um número b de vezes. 
Caso b < 0, o gráfico sofre uma rotação em relação ao 
eixo x e fica simétrico ao gráfico com b > 0.
c) f(x) = sen2x
Resolução:
Sejam os ângulos 0, p __ 
2
 , p, 3p ___ 
2
 e 2p. Para isso, é necessário 
atribuir a x metade desses valores:
x = 0 ∫ y = sen(2 · 0) = sen 0 = 0
x = p __ 
4
 ∫ y = sen ( 2 · p __ 4 ) = sen p __ 2 = 1
x = p __ 
2
 ∫ sen ( 2 · p __ 2 ) = sen p = 0
x = 3p ___ 
4
 ∫ y = sen ( 2 · 3p ___ 4 ) = sen 3p ___ 2 = –1
x = p ∫ y = sen(2p) = 0
período = p
imagem = [–1, 1]
Observação
Ao comparar o gráfico de f(x) = senx com o gráfico 
de f(x) = sen2x, observa-se que ele sofreu uma com-
pressão horizontal de duas unidades, enquanto o 
período foi alterado para p.
f(x) = senx
f(x) = sen2x
Ao considerar o gráfico do tipo f(x) = sen(c · x), con-
clui-se que o gráfico de f(x) = senx será comprimido 
horizontalmente em c unidades, se |c| > 1; porém, sof-
rerá dilatação horizontal, se 0 < |c| < 1.
Além disso, o período é igual a 2p ___ 
|c|
 .
d) f(x) = sen ( x – p __ 3 ) 
Resolução:
Sejam os ângulos 0, p __ 
2
 , p, 3p ___ 
2
 e 2p. Para isso, é necessário 
atribuir x a esses valores aumentados em p __ 
3
 :
x = p __ 
3
 ∫ y = sen ( p __ 3 – p __ 3 ) = sen 0 = 0
x = 5p ___ 
6
 ∫ y = sen ( 5p ___ 6 – p __ 3 ) = sen p __ 2 = 1
x = 4p ___ 
3
 ∫ y = sen ( 4p ___ 3 – p __ 3 ) = sen p = 0
x = 11p ____ 
6
 ∫ y = sen ( 11p ____ 6 – p __ 3 ) = sen 3p ___ 2 = 1
x = 7p ___ 
3
 ∫ y = sen ( 7p ___ 3 – p __ 3 ) = sen 2p = 0
21
período = 2p
imagem = [–1, 1]
Observação
Ao comparar o gráfico de f(x) = senx com o gráfico de 
f(x) = sen ( x – p __ 3 ) , observa-se que ele sofreu um desloca-
mento (translação) horizontal para a direita de p __ 
3
 unidades.
f(x) = senx
f(x) = sen ( x – p __ 3 ) 
Considerado o gráfico do tipo f(x) = sen(cx – d), con-
clui-se que o gráfico de f(x) = senx será deslocado hor-
izontalmente em u d __ c u unidades para a direita, se d > 0; 
ou para a esquerda, se d < 0.
As conclusões da translação, da dilatação e da com-
pressão das funções do tipo f(x) = a + b · sen(cx + d) 
são válidas para as demais funções.
2. Trace os gráficos destas funções.
a) f(x) = y = 3 + 2 · cosx
Resolução:
x = 0 ∫ y = 3 + 2 · cos0 = 3 + 2 · 1 = 5
x = p __ 
2
 ∫ y = 3 + 2 · cos p __ 
2
 = 3 + 2 · 0 = 3
x = p ∫ y = 3 + 2 · cosp = 3 + 2 · (–1) = 1
x = 3p ___ 
2
 ∫ y = 3 + 2 · cos 3p ___ 
2
 = 3 + 2 · 0 = 3
x = 2p ∫ y = 3 + 2 · cos2p = 3 + 2 · 1 = 5
período = 2p
imagem = [1, 5]
Observação
Comparando o gráfico obtido com gráfico de f(x) = cosx, 
observa-se que ele foi deslocado três unidades para cima 
(a = 3) e dilatado verticalmente duas vezes (b = 2).
f(x) = cosx
f(x) = 3 + 2 cosx
22
b) f(x) = cos ( 2x – p __ 3 ) 
Resolução:
Sejam os ângulos 0, p __ 
2
 , p, 3p ___ 
2
 e 2p. Para isso, é necessário 
atribuir esses valores aumentados em p __ 
3
 e divididos por 2:
x = p __ 
6
 ∫ y = cos ( 2 · p __ 6 – p __ 3 ) = cos0 = 1
x = 5p ___ 
12
 ∫ y = cos ( 2 · 5p ___ 12 – p __ 3 ) = cos p __ 2 = 0
x = 2p ___ 
3
 ∫ y = cos ( 2 · 2p ___ 3 – p __ 3 ) = cosp = –1
x = 11p ____ 
12
 ∫ y = cos ( 2 · 11p ____ 12 – p __ 3 ) = cos 3p ___ 2 = 0
x = 7p ___ 
6
 ∫ y = cos ( 2 · 7p ___ 6 – p __ 3 ) = cos2p = 1
Observação
Comparando o gráfico obtido com o gráfico de f(x) = cosx, 
observa-se que ele foi dilatado horizontalmente duas ve-
zes (c = 2) e para a direita p __ 6 rad ( u d __ c u) .
f(x) = cosx
f(x) = cos ( 2x – p __ 3 ) 
c) f(x) = 2 + 3 cos ( 3x + p __ 2 ) 
Resolução:
Sejam os ângulos 0, p __ 
2
 , p, 3p ___ 
2
 e 2p. Para isso, é necessário 
atribuir a x esses valores diminuídos em p __ 
2
 e divididos por 3:
x = – p __ 
6
 ∫ y = 2 + 3 cos [ 3 · ( – p __ 6 ) + p __ 2 ] =
= 2 + 3 cos0 = 2 + 3 · 1 = 5
x = 0 ∫ y = 2 + 3 cos ( 3 · 0 + p __ 2 ) =
= 2 + 3 cos p __ 
2
 = 2 + 3 · 0 = 2
x = p __ 
6
 ∫ y = 2 + 3 cos ( 3 · p __ 6 + p __ 2 ) =
= 2 + 3 cosp = 2 + 3 · (–1) = –1
x = p __ 
3
 ∫ y = 2 + cos ( 3 · p __ 3 + p __ 2 ) =
= 2 + 3 cos 3p ___ 
2
 = 2 + 3 · 0 = 2
x = p __ 
2
 ∫ y = 2 + 3 cos ( 3 · p __ 2 + p __ 2 ) =
= 2 + 3 cos2p = 2 + 3 · 1 = 5
Observação
Comparando o gráfico obtido com o gráfico de f(x) = cosx, 
observa-se que ele foi deslocado para cima duas uni-
dades (a = 2), foi dilatado verticalmente três vezes (b = 3) 
e deslocado para a esquerda p __ 
6
 rad ( u d __ c u ) .
f(x) = cosx
23
f(x) = 2 + 3 cos ( 3x + p __ 2 ) 
5.3. Generalização
As funções do tipo trigonométricas são escritas na forma 
f(x) = a + b · trig (cx + d), da qual a, b, c e d são constantes 
(b ≠ 0 e c ≠ 0) e trig indica uma das seis funções trigo-
nométricas estudadas (seno, cosseno, tangente, secante, 
cossecante e cotangente).
Podemos citar como exemplos de funções do tipo 
f(x) = a + b · trig(cx – d):
 f(x) = 3 · senx, 
onde a = 0, b = 3, trig = sen, c = 1 e d = 0;
 f(x) = 1 + cosx, 
onde a = 1, b = 1, trig = cos, c = 1 e d = 0;
 f(x) = cos3x, 
a = 0, b = 1, trig = cos, c = 3 e d = 0;
 f(x) = 1 + tg ( 2x – p __ 3 ) , 
a = 1, b = 1, trig = tg, c = 2 e d = – p __ 
3
 .
5.4. Papel das constantes a, b, c e d
As características das funções do tipo f(x) = a + b · trig(cx + d) 
podem ser relacionadas com as funções trigonométricas e 
seus gráficos padrão.
As constantes a e b alteram a imagem da função (valores 
de y), e as constantes c e d alteram as características rela-
cionadas com os valores de x. Desta forma:
 a constante a translada o gráfico padrão em a unida-
des. Se a > 0, o gráfico “sobe” a unidades, e, se a < 0, 
o gráfico “desce” a unidades. No primeiro exemplo de 
aplicação, item a, observe o gráfico de f(x) = 2 + senx 
em relação ao de y = sen x;
 a constante b comprime ou dilata verticalmente o grá-
fico. Se |b| > 1, o gráfico dilata, e, se 0 < |b| < 1, o grá-
fico comprime. No primeiro exemplo de aplicação, item 
b, observe o gráfico de f(x) = 2 · senx em relação ao de 
y = senx. Se b = –1, o gráfico fica invertido. Se b < 0, o 
gráfico fica simétrico (em relação ao eixo x) ao original, 
com b > 0. O valor de b é, muitas vezes, chamado de 
amplitude do gráfico;
 a constante c altera o período padrão (ptrig) da função trig, 
ou seja, comprime ou dilata horizontalmente o gráfico 
padrão. Se |c| > 1, f(x) fica comprimido horizontalmente 
em |c| unidades. Se 0 < |c| < 1, f(x) fica dilatado horizon-
talmente em |c| unidades. O novo período é dado por 
py = 
ptrig ___ u c u ; e
 a constante d translada o gráfico padrão em u d __ c u uni-
dades horizontais. Se d > 0, o gráfico translada para a 
esquerda u d __ c u unidades.
Observação
Desde o início do estudo de trigonometria, sabe-se que, 
para um ângulo agudo, cosseno x é igual ao seno do 
complementar de x. Expressa essa igualdade em radi-
anos, cosx = sen ( p __ 2 – x ) , ou seja, a função cosseno é 
uma função seno com a = 0, b = 1, c = –1 e d = p __ 
2
 . Isso 
permite estabelecer que a imagem da função cosseno 
é igual a da função seno; que o período da função cos-
seno é py = 
ptrig
 ___ u c u = 
2p ___ 
 u –1 u 
 = 2p, o mesmo da função seno; 
e que o início de um período da função cosseno 
é x = u d __ c u = u 
p __ 
2
 
 ___ 
–1
 u = p __ 
2
 , que comprovam a afirmação de 
que gráfico da função cosseno também é uma senoide 
transladada para a esquerda p __ 
2
 unidades.
 Aplicação do conteúdo
1. Qual o valor máximo da função f(x) = 2cos2 x – 4sen2x?
Resolução:
Substituindo sen2 x por 1 – cos2x:
f(x) = 2cos2x – 4sen2x
f(x) = 6cos2x – 3 – 1
f(x) = 3(2cos2x – 1) – 1 = f(x) = 3cos 2x – 1
O valor máximo da função corresponde a cos2x = 1, o que 
permite afirmar que o valor máximo é 3 · 1 – 1 = 2.
2. Qual o valor máximo da função f(x) = 3 · senx + 4 · cosx?
24
Resolução:
Dividida a expressão por k(k > 0):
 f(x) ___ 
k
 = 3 __ 
k
 senx + 4 __ 
k
 cosx
Considere-se um ângulo a, tal que cosa = 3 __ 
k
 e sena = 4 __ 
k
 .
Portanto:
sen2a + cos2a = ( 4 __ k ) 
2
 + ( 3 __ k ) 
2 
= 1
1 = 16 ___ 
k2
 + 19 ___ 
k2
 ä 1 = 25 ___ 
k2
 ä k2 = 25 ä k = 5
Com isso, a expressão torna-se:
 f(x) ___ 
5
 = cosa senx + sena cosx
 f(x) ___ 
5
 = sen(x + a) ä f(x) = 5sen(x + a)
O valor máximo de f(x) corresponde a sen(x + a) = 1, ou 
seja, f(x)max = 5 · 1 = 5.
3. Determine o período da função 
f(x) = cos ( x __ 2 – 
p __ 
3
 ) :
Resolução:
Há duas maneiras de resolver esse exercício.
Primeira maneira:
O período da função cosseno é p = 2p.
É necessário verificar o que ocorre com ( x __ 2 – p __ 3 ) , se variar 
de 0 a 2p:
 x __ 
2
 – p __ 
3
 = 0 ä x __ 
2
 = p __ 
3
 ä x = 2p ___ 
3
 ä
ä x __ 
2
 – p __ 
3
 = 2p ä x __ 
2
 = 2p + p __ 
3
 ä
ä x __ 
2
 = 7p ___ 
3
 ä x = 14p ____ 
3
 
p = 14p ____ 
3
 – 2p ___ 
3
 = 12p ____ 
3
 ä p = 4p
O período da função dada é p = 4p.
Segunda maneira:
Uma vez que o período padrão da função cosseno é p = 2p:
p = 2p ___ 
 u 1 __ 2 u 
 = 4p
4. Obtenha o conjunto imagem e o período da função 
y = 2 + 4 · cos3x.
Resolução:
O valor mínimo de y é 2 + 4 (–1) = –2 e o valor máximo é 
2 + 4 · 1 = 6. Portanto, Im(y) = [–2, 6].
Uma vez que o período padrão da função cosseno é p = 2p, 
o período da função y é py = 
2p ___ 
 u 3 u 
 = 2p ___ 
3
 .
5. Construa e analise cada item do gráfico da função, 
calculando seu domínio, sua imagem e seu período. 
(Construa apenas um período completo.)
a) f(x) = 3 · senx
Resolução:
Calculados a imagem, o período e o valor da translação 
horizontal do gráfico, é possível desenhá-lo facilmente.
Imagem: f(x)max = 3 · 1 = 3 f(x)min = 3(–1) = –3
Logo, Im(f) = [–3, 3] (dilatou verticalmente, mas não transladou).
Período: py = 
2p ___ 
 u 1 u 
 = 2p (não mudou).
Translação horizontal: xi = 
d __ c = 
0 __ 
1
 = 0 (não transladou).
Agora, basta esboçar o gráfico:
D = R, Im = [–3, 3], p = 2p
b) y = f(x) = 1 + cosx
Resolução:
Imagem: f(x)max = 1 + 1 = 2 f(x)min = 1 + (–1) = 0
Logo, Im(f) = [0, 2] (transladou verticalmente, mas não dilatou).
Período: py = 2p ___ 
 u 1 u 
 = 2p (não mudou).
Translação horizontal: x1 = 
d __ c = 
0 __ 
1
 = 0 (não transladou).
Agora, basta esboçar o gráfico:
D = R, Im = [0, 2], p = 2p
25
6. Qual é o período da função f(x) = 1 + tg ( 2x – p __ 3 ) ?
Resolução:
Há duas maneiras de resolver esse exercício.
Primeira maneira:
A função tangente tem período p = p.
É necessário verificar o que ocorre com ( 2x – p __ 3 ) , se variar 
de 0 a p.
2x – p __ 
3
 = 0 ä 2x = p __ 
3
 ä x = p __ 
6
 ä 2x – p __ 
3
 = p ä 
2x = p + p __ 
3
 ä 2x = 4p ___ 
3
 ä x = 4p ___ 
6
 = 2p ___ 
3
 
p = 2p ___ 
3
 – p __ 
6
 = 4 p – p _______ 
6
 = 3p ___ 
6
 = p __ 
2
 
Logo, o período da função dada é p = p __ 
2
 .
Segunda maneira:
O período da função tangente é p = p; logo, py = 
p __ 
 u 2 u 
 = p __ 
2
 .
7. Qual o período da função f(x) = sen2x · cos2x?
Resolução:
Ao multiplicar f(x) = sen2x · cos2x por 2, obtém-se 
2f(x) = 2sen2x · cos2x.
Uma vez que sen (2 · 2x) = 2sen2x · cos2x: 
2f(x) = sen(2 · 2x) ä f(x) = sen 4x _____ 
2
 = 1 __ 
2
 · sen4x.
O período é 2p ___ 
4
 = p __ 
2
 .
6. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSASConhecimentos adquiridos com o estudo das funções trigonométricas:
 A função seno f: R ∫ R, tal que f(x) = senx não é injetiva nem sobrejetiva. Portanto, f não é bijetiva e não admite inversa.
 O mesmo ocorre com a função cosseno g: R ∫ R, tal que g(x) = cosx.
 A função tangente h: A ∫ R com A = { x [ R | x ≠ k p __ 2 } , tal que h(x) é sobrejetiva, mas não injetiva.
Se, no entanto, forem escolhidos certos domínios e contradomínios, essas mesmas sentenças definem funções bijetivas que, 
consequentemente, admitem inversa.
1. f: [ – p __ 2 , 
p __ 
2
 ] ∫ [–1, 1], tal que f(x) = senx ou y = senx é função bijetiva; logo, admite inversa:
Inversa de f ∫ x = seny ∫ y = arcsenx (lê-se y é o arco de – p __ 
2
 a p __ 
2
 , cujo seno é x).
2. g: [0, p] ∫ [–1, 1], tal que g(x) = cosx ou y = cosx é função bijetiva; logo, admite inversa:
-1
Inversa de g ∫ x = cosy ∫ y = arccosx (lê-se y é o arco de 0 a p, cujo cosseno é x).
26
3. h: ]– p __ 2 , p __ 2 [ ∫ R, tal que h(x) = tgx ou y = tgx é função 
bijetiva; logo, admite inversa.
2
Inversa de h ∫ x = tgy ∫ y = arctgx (lê-se y é o arco entre 
– p __ 
2
 a p __ 
2
 , cuja tangente é x).
Por definição:
 Função arcosseno é a função de [–1, 1] em [ – p __ 2 , 
p __ 
2
 ] , 
tal que y = arcsenx.
 Função arcocosseno é a função de [–1, 1] em [0, p], tal 
que y = arccosx.
 Função arcotangente é a função de R em ]– p __ 2 , p __ 2 [, tal 
que y = arctgx.
 Aplicação do conteúdo
1. Calcule o valor de a em cada item.
a) a = arcsen 1 __ 
2
 
Resolução: a = arcsen 1 __ 
2
 ä sena = 1 __ 
2
 , – p __ 
2
 ≤ a ≤ p __ 
2
 ä a = p __ 
6
 
b) a = arccos0
Resolução: a = arccos0 ä cosa = 0, 0 ≤ a ≤ p ä a = p __ 
2
 
c) a = arctg(–1)
Resolução: a = arctg(–1) ä tga = –1, – p __ 
2
 < < p __ 
2
 ä 
 = – p __ 
4
 
2. Calcule cos ( arcsen dXX 3 ___ 2 ) .
Resolução: se a = arcsen 
dXX 3 ___ 
2
 , obtém-se sena = 
dXX 3 ___ 
2
 , 
– p __ 
2
 ≤ a ≤ p __ 
2
 ä a = p __ 
3
 ä cosa = cos p __ 
3
 = 1 __ 
2
 .
Logo, cos ( arcsen dXX 3 ___ 2 ) = 1 __ 2 .
3. Calcule sen ( arccos 3 __ 5 ) .
Resolução: se a = arccos 3 __ 
5
 , obtém-se cos a = 3 __ 
5
 , com 
0 ≤ a < p.
Se usado sen2a + cos2a = 1, com 0 ≤ a ≤ p, chega-se a 
sena = 4 __ 
5
 . Logo, sen ( arccos 3 __ 5 ) = 4 __ 5 .
A trigonometria possui inúmeras aplicações nos diversos ramos da ciência, sendo considerada uma importante aliada do 
mundo moderno. Os sons que ouvimos todos os dias, incluindo a música, alcançam nossos ouvidos como ondas sonoras. 
Cada nota (tom) na música é determinada pelo tamanho de sua onda senoidal, ou seja, é determinada por sua frequência. 
Notas com ondas mais amplas são mais graves e têm menos ciclos por segundo, enquanto que notas que têm ondas se-
noidais estreitas são mais agudas e possuem mais ciclos por segundo. Os músicos podem modificar seus timbres manipulan-
do as ondas senoidais produzidas. A trigonometria é capaz de estudar a evolução, a intensidade e a frequência das ondas.
VIVENCIANDO
17 equações que mudaram o mundo explo-
ra as conexões entre a matemática e o pro-
gresso da humanidade e demonstra como as 
equações são parte integrante da nossa vida 
desde a Antiguidade, abrindo novas perspec-
tivas de desenvolvimento.
17 Equações que Mudaram 
o Mundo - Ian Stewart
multimídia: livros
27
As funções trigonométricas são primordiais nas áreas da saúde, astronomia, farmácia, ciências geológicas, físicas, 
entre outras. Um médico, ao realizar um exame de ultrassom em um paciente, desenvolve todas as funções periódicas 
nesse ato. Astrônomos, diariamente, descobrem distâncias de corpos celestes próximos à Terra. Nota-se que é de 
fundamental importância as ações que envolvem funções trigonométricas. Sem a trigonometria, um cartógrafo de-
moraria muito tempo para desenhar um mapa, os astrônomos não saberiam as distâncias entre os planetas, pontes 
seriam construídas demoradamente. Enfim, tudo seria bem mais complicado.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
Habilidade
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a habilidade 21 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação 
proposta a partir de conhecimentos algébricos adquiridos.
Modelo
(Enem) Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do tipo 
P(t) = A + Bcos(kt) em que A, B e K são constantes reais positivas e t representa a variável tempo, medida em segun-
do. Considere que um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máximas.
Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados:
pressão mínima 78
pressão máxima 120
número de batimentos cardíacos por minuto 90
A função P(t), obtida por este cientista, ao analisar o caso específico, foi:
a) P(t) = 99 + 21cos(3πt).
b) P(t) = 78 + 42cos(3πt).
c) P(t) = 99 + 21cos(2πt).
d) P(t) = 99 + 21cos(t).
e) P(t) = 78 + 42cos(t).
Resolver situação-problema, cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.21
28
Análise expositiva - Habilidade 21: 
Calculando:
P(1)= A + Bcos(kt)
{ A + B . cos(kt) = 120A - B . cos(kt) = 78 2A = 198 A = 99
Pmax cos(kt) = 1
99 + B = 120 B = 21
 90 batimentos _____________ 60 segundos T = 
6 __ 9 s = 
2 __ 3 s
k = 2π ___ 
T
 = 3 __ 2 . 2π = 3π
Assim:
P(1) = 99 + 21 . cos(3πt)
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar um problema do cotidiano e utilizar seus conhecimentos sobre 
funções trigonométricas para a sua resolução.
Alternativa A
A
29
FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS
SENO
FUNÇÃO f: ASSOCIA CADA 
NÚMERO REAL x AO SEU SENO:
COSSENO
FUNÇÃO f: ASSOCIA CADA 
NÚMERO REAL x AO SEU COSSENO:
TANGENTE
FUNÇÃO f: ASSOCIA CADA 
NÚMERO REAL x A SUA TANGENTE:
SEN
COS
GRÁFICO:
GRÁFICO: GRÁFICO:
-
+
-
-
+
-
+
-
+
+
+
-
DOMÍNIO: 
IMAGEM: {1,-1}
PERÍODO: 2π rad
DOMÍNIO: 
IMAGEM: {-1,1}
PERÍODO: 2π rad
DOMÍNIO: x ≠ kπ +
IMAGEM: 
PERÍODO: π rad
f(x) = senx
f(x) =cosx f(x) =tgx
-2π -π π 2π
SENO
COSSENO
TANGENTE
GRÁFICOS 
DOS SINAIS
π
2
-2π -π π
1
-1
2π
1
-1
 DIAGRAMA DE IDEIAS
30
 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES MODULARES
COMPETÊNCIA: 5 HABILIDADES: 19 e 21
AULAS 
31 E 32
1. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
1.1. Definição
Dado um número real x, define-se o módulo de x (ou valor 
absoluto) representado por u x u como:
 u x u = x, se x for positivo ou nulo
–x, se x for negativo
Observe que, se x é negativo, – x é positivo.
Da definição, temos que: 
 u x u é o próprio valor de x, se este for positivo ou nulo.
Exemplos:
 u 0 u = 0
| 3 | = 3
 u 1/2 u = 1 __ 2 
| √
__
 3 | = √
__
 3 
 |x| é o oposto do valor de x, se este for negativo.
Exemplos:
 u –1 u = 1
 u –7 u = 7
 u –3/5 u = 3 __ 5 
 u – √
__
 u = √
__
 
Analisando mais atentamente dois casos:
 u 3 u = 3, pois 3 $ 0; portanto, o resultado é o próprio 3.
 u –7 u = 7, pois –7 < 0; portanto, o resultado é o opos-
to de –7, que é 7.
Observe que para todo x real, temos que u x u $ 0, ou seja, o 
módulo de qualquer número real é sempre positivo ou nulo.
 Aplicação do conteúdo
1. Simplifique a expressão A = 
| 2 – x |
 ______ 
2 – x 
 , sabendo que x > 2.
Resolução:
Como x > 2, sabemos que a expressão 2 – x é negativa. 
Portanto, |2 – x| é igual ao oposto de 2 – x, da definição 
de módulo:
2 – x = 2 – x, se 2 – x for positivo ou nulo
–(2 – x), se 2 – x for negativo
Portanto, A = 
| 2 – x |
 ______ 
2 – x
 = – (2 – x) _______ 
2 – x
 = –1.
1.2. Interpretação geométrica
Geometricamente, podemos assumir que o módulo de um 
número real x é igual à distância do ponto que representa 
a imagem do número x na reta real até o ponto 0.
Veja na reta real o módulo dos números –5 e 3:
Veja que |–5| representa a distância do ponto –5 na reta 
real até o ponto 0.
 Aplicação do conteúdo
1. Considerando x um número real, encontre o conjunto 
soluçãoda equação u x u = 4.
Geometricamente, para resolver a equação em questão, 
podemos nos fazer a seguinte pergunta: qual ponto da reta 
real dista 4 unidades de comprimento da origem?
Resolução:
Traçando a reta real, temos dois valores de x que distam 4 
unidades da origem:
Portanto, há dois valores que satisfazem a equação: 4 e –4. 
Logo, o conjunto solução é S = {–4, 4}.
31
1.3. Algumas propriedades importantes
Para quaisquer x [ R e y [ R, valem as seguintes propriedades:
P1: u x u $ 0
P2: u x · y u = u x u u y u 
P3: u x + y u # u x u + u y u 
(A esta propriedade damos o nome de 
desigualdade triangular.)
P4: u x – y u $ u x u – u y u 
P5: u x u ² = x²
P6: √
__
 x2 = u x u 
1.4.Equações modulares
Quando temos uma sentença aberta (que pode ser ver-
dadeira ou não) como u x – 1 u = 2, não sabemos se a ex-
pressão que está dentro do módulo, x – 1 , é positiva ou 
não. Portanto, temos que considerar os dois casos. A uma 
equação como esta chamamos de equação modular.
Geometricamente, já vimos que uma equação do tipo |x| = k, 
com k > 0, possui duas raízes, k e –k, pois há dois valores de 
x que distam k unidades da origem. Portanto, para x [ R e 
k [ R, temos:
|x| = k x = k ou x = –k
Se uma equação modular possuir módulo em ambos os 
membros, podemos utilizar a mesma ideia para sua res-
olução; porém, é mais prático usar a seguinte propriedade:
Para x [ R e k [ R, temos que:
 u x u = u y u x = y ou x = –y
1.5. Condição de existência
É importante destacar que a propriedade P1, onde x $ 0, 
é muito importante, pois nos diz que uma equação do tipo 
u x u = –2 não possui solução, visto que o módulo de um 
número real é sempre maior ou igual a zero. Isso significa 
que equações modulares possuem condição de existência, 
e esta deve sempre ser verificada. Veja a seguinte equação:
 u x – 5 u = –2x + 1
Para que a igualdade seja possível, temos a seguinte 
condição: –2x + 1 $ 0.
Portanto, x # 1 __ 
2
 .
Resolvendo a equação modular, temos:
x – 5 = –2x + 1 
 
x – 5 = –2x + 1 x = 2 (não convém)
ou
x – 5 = –(–2x + 1) x = – 4
Observe que o valor de x deve ser menor ou igual a 1 __ 
2
 ; 
portanto, uma das possíveis soluções da equação, x = 2, 
não faz parte do conjunto solução. Substitua os valores en-
contrados e verifique a resposta.
 Aplicação do conteúdo
1. Resolva as seguintes equações:
a) u x – 1 u = 2
Resolução:
Considerando as duas possibilidades:
x – 1 = 2 (I) ou x – 1 = –2 (II)
Resolvendo as equações, temos:
(I) x – 1 = 2 x = 3
(II) x – 1 = –2 x = –1
Portanto, o conjunto solução S = {–1, 3}.
Podemos verificar que ambos os valores de x encontrados 
satisfazem a equação original:
 para x = –1:
 u x – 1 u = 2
 u –1 – 1 u = 2 |–2| = 2 2 = 2 (verdadeiro)
 para x = 3:
 u x – 1 u = 2
 u 3 – 1 u = 2 u 2 u = 2 2 = 2 (verdadeiro)
b) u x u 2 = 9
Resolução:
Aplicando a propriedade P5, temos que u x u 
2 = x2; portanto:
x2 = 9 u x u = 3 x = ±3
c) x2 – 6 u x u + 5 = 0
Resolução:
Novamente, temos que u x u 2 = x2; portanto |x|2 – 6 u x u + 5 = 0.
Observe que essa é uma equação do segundo grau em 
u x u ; portanto, podemos fazer uma substituição de variável: 
u x u = y.
y2 – 6y + 5 = 0
Resolvendo a equação quadrática, temos y’ = 1 e y” = 5.
Como y = u x u , devemos retornar à variável original.
 Para y = 1:
 u x u = 1 x = 1 ou x = –1
32
 Para y = 5:
 u x u = 5 x = ou x = –5
Portanto, o conjunto solução é S = {–1, 1, –5, 5}.
d) u 4x u + 20 = 0
Aplicando a propriedade P2, temos que:
 u 4x u = u 4 u · u x u .
Como |4| = 4, temos:
 u 4x u + 20 = 0 4 u x u + 20 = 0 u x u = –5
Observe que, segundo a definição de módulo, para qual-
quer x real, u x u é sempre maior ou igual a zero. O mó-
dulo de um número real nunca pode ser um valor negativo, 
como –5. Portanto, o conjunto solução S é vazio (S = [).
e) √
_________
 (x – 3)2 = 7
Aplicando a propriedade P6, temos que:
 √
______
 (x – 3)2 = |x – 3|.
Fique atento ao “cancelar” raízes quadradas e 
quadrados perfeitos, pois, para um valor real k, temos 
que √
__
 k2 é u k u , e não k.
Portanto, temos:
 √
______
 (x – 3)2 = 7 |x – 3| = 7 
 
x – 3 = 7 x = 10
ou
x – 3 = –7 x = –4
Portanto, S = {–4; 10}.
1.6. Equações com mais de um módulo
Por vezes, podemos encontrar equações que apresentam 
mais de um módulo. Veja, a seguir, alguns dos casos mais 
comuns e como resolvê-los.
 Aplicação do conteúdo
1. Encontre o conjunto solução de cada equação a seguir.
a) u 3x – 5 u = u 3 – x u 
Lembrando que, para x [ R e k [ R, temos:
|x| = |k| x = k
ou
x = –k
Portanto:
 u 3x – 5 u = u 3 – x u 
3x – 5 = 3 – x x =2
ou
3x – 5 = –(3 – x) x = 1
Logo, x = 1 ou x = 2.
Portanto, S = {1; 2}.
b) u u 2x u – 3 u = 5
Pela definição de módulo de um número real, temos:
 u u 2x u – 3 u = 5 
|2x| – 3 = 5 (I)
ou
|2x| – 3 = –5 (II)
Resolvendo a equação (I):
 u 2x u – 3 = 5
 u 2x u = 8
2 u x u = 8
 u x u = 4 x = 4 ou x = –4
Resolvendo a equação (II):
 u 2x u – 3 = –5
 u 2x u = –2
2 u x u = –2
 u x u = –1 (não há solução real)
Portanto, o conjunto solução é S = {–4, 4}.
c) u 1 – 2x u – u x + 3 u = 4
Neste caso, analisamos cada módulo separadamente:
(I) u 1 – 2x u = 
1 – 2x, se 1 – 2x $ 0
ou
–(1 – 2x), se 1 – 2x < 0
 
 u 1 – 2x u = 
1 – 2x, se x 1 __ 
2
 
ou
–1 + 2x, se x > 1 __ 
2
 
(II) u x + 3 u = 
x + 3, se x + 3 $ 0
ou
–(x + 3), se x + 3 < 0
 
 u x + 3 u = 
x + 3, se x $ –3
ou
–x – 3, se x < –3
Como cada módulo é definido de uma maneira diferente para 
cada intervalo, faremos uma tabela para analisar cada caso:
33
Substituindo cada expressão na equação original, temos:
 para x < –3:
 u 1 – 2x u – u x + 3 u = 4 (1 – 2x) – (–x – 3) = 4 
–x + 4 = 4 x = 0
Como estamos analisando o intervalo x < –3, o resultado 
encontrado x = 0 não convém.
 para –3 # x < 1 __ 
2
 :
 u 1 – 2x u – u x + 3 u = 4 (1 – 2x) – (x + 3) = 4 
–3x – 2 = 4 x = –2
O valor x = –2 está dentro do intervalo –3 # x < 1 __ 
2
 ; por-
tanto, faz parte do conjunto solução.
 para x $ 1 __ 
2
 :
 u 1 – 2x u – u x + 3 u = 4 (–1 + 2x) – (x + 3) = 4 
x – 4 = 4 x = 8
Novamente, o valor x = 8 está dentro do intervalo x $ 1 __ 
2
 ; 
portanto, também faz parte do conjunto solução.
Finalmente, encontramos dois valores que obedecem seus 
respectivos intervalos em cada etapa e que satisfazem à 
equação. O conjunto solução é S = {–2, 8}.
2. INEQUAÇÕES MODULARES
Já vimos que podemos interpretar o módulo de um 
número real de maneira geométrica na reta real. O 
módulo de um número real x, representado por u x u , é 
a distância entre o ponto-imagem de x e a origem da 
reta real. Essa ideia é muito útil para entendermos a 
resolução de inequações modulares.
Uma inequação modular é uma inequação do tipo u x u > k, 
u x u $ k, u x u < k ou u x u # k.
Estudamos, no capítulo anterior, que podemos resolver 
a equação u x u = 3, geometricamente, através da reta 
real. Como u x u representa a distância do ponto x até a 
origem, temos:
Como tanto o ponto x = 3 e o ponto x = –3 distam três 
unidades da origem, a solução da equação é x = ±3.
Portanto, para resolver a inequação u x u $ 3, por exemplo, 
devemos nos perguntar o seguinte:
a) Quais pontos possuem uma distância 
maior ou igual a três unidades da origem?
De maneira similar, para resolver a inequação u x u # 3, a 
pergunta a ser feita é a seguinte:
b) Quais pontos possuem uma distância 
menor ou igual a três unidades da origem?
Veja, no esquema a seguir, como podemos responder a 
essas questões:
Vamos analisar os dois casos:
a) u x u $ 3
Veja, no esquema anterior, que para a distância até a ori-
gem ser maior ou igual a três unidades, os valores de 
x devem ser maiores que 3 ou menores que –3:
Portanto, o conjunto solução é x # –3 ou x $ 3.
b) u x u # 3
Para que a distância até a origem seja menor ou igual a 
três unidades, os valores de x devem ser menores que 3 
e maiores que–3, ou seja, entre –3 e 3:
Portanto, o conjunto solução é –3 # x # 3.
De maneira geral, sendo a > 0, podemos ter uma das se-
guintes situações:
 u x u > a x > a ou x < –a
 u x u $ a x $ a ou x # –a
 u x u < a –a < x < a
 u x u # a –a # x # a
Lembre-se de que a inequação –a # x # a pode ser escri-
ta como um sistema de inequações:
34
–a # x # a 
 
x $ –a
e
x # a
 Aplicação do conteúdo
1. Resolva a inequação u 2x – 3 u > 5.
Para uma inequação do tipo u x u > a, com a > 0, temos que 
x < –a ou x > a; portanto:
 u 2x – 3 u > 5 
2x – 3 < –5 x < –1
e
2x – 3 > 5 x > 4
Portanto, o conjunto solução é:
S = {x [ R | x < –1 ou x > 4}
2. Encontre o domínio da função real:
f(x) = √
______ 
 |3x| – 12 .
Uma função do tipo f(x) = ( Rx ) possui domínio x $ 0; logo 
u 3x u – 12 $ 0.
Resolvendo a inequação modular, temos:
 u 3x u – 12 $ 0
 u 3x u $ 12
| x | > 4
x # –4 ou x > 4 
Portanto, o domínio da função f é:
D(f) = {x R | x # – 4 ou x $ 4}.
3. Resolva a inequação u x2 + x – 1 u < 1.
Para uma inequação do tipo u x u < a, com a $ 0, temos 
que – a < x < a; portanto:
 u x2 + x – 1 u < 1 –1 < x2 + x – 1 < 1 
 
x2 + x – 1 > – 1 (I)
e
x2 + x – 1 < 1 (II)
Resolvendo a inequação (I):
x2 + x – 1 > –1 x2 + x > 0
Raízes: x1 = –1 e x2 = 0
Gráfico:
Portanto, x < –1 ou x > 0.
Resolvendo, agora, a inequação (II):
x2 + x – 1 < 1 x2 + x – 2 < 0
Raízes: x1 = –2 e x2 = 1
Gráfico:
Portanto, –2 < x < 1.
Colocando os resultados no quadro:
Portanto, o conjunto solução é:
S = {x [ R I –2 < x < –1 ou 0 < x < 1}.
4. Para quais valores reais de x a expressão u 2x – 7 u é 
menor ou igual a 5?
Queremos resolver a inequação
 u 2x – 7 u # 5. Para uma inequação do tipo u x u # a, com 
a $ 0, temos que –a # x # a; portanto - 5 # 2x – 7 # 5.
Podemos resolver esta inequação simultânea somando ou 
multiplicando o mesmo termo em todos os membros da 
inequação. Somando 7 em todos os membros, temos:
–5 + 7 # 2x – 7 + 7 # 5 + 7
2 # 2x # 12
Dividindo todos os membros por 2 ( ou, de maneira equiva-
lente, multiplicando por 1 __ 
2
 ) :
1 # x # 6
Portanto, o conjunto solução é:
S = {x [ R | 1 # x # 6}.
35
5. Resolva a inequação u 2x – 3 u + u x + 1 u # 4.
Quando há mais de um módulo, podemos analisar cada 
um separadamente:
(I) u 2x – 3 u = 
2x – 3, se 2x – 3 $ 0
ou
–(2x – 3), se 2x – 3 < 0
 
2x – 3, se x $ 3 __ 2 
ou
–2x +3, se x < 3 __ 2 
(II) u x + 1 u = 
x + 1, se x + 1 $ 0
ou
–(x + 1), se x + 1 < 0
 
x + 1, se x $ –1
ou
–x – 1, se x < –1
Como cada módulo é definido de maneira diferente para 
cada intervalo, faremos uma tabela:
Substituindo cada expressão na inequação original, temos:
 Para x < –1:
 u 2x – 3 u + u x + 1 u # 4
(–2x + 3) + (– x – 1) # 4
–3x # 2
x $ – 2 __ 
3
 
Como neste intervalo temos que x < –1, calculamos a in-
tersecção dos intervalos x < –1 e x $ – 2 __ 
3
 :
] –`, –1 [ ù [ – 2 __ 3 , +` [ = [
 Para –1 # x < 3 __ 
2
 :
|2x – 3| + |x + 1| # 4
(–2x + 3) + (x + 1) # 4
–x # 0
x $ 0
Calculando a intersecção, temos:
[ –1, 3 __ 2 [ ù [0, + `[ = [0, 3 __ 2 [
 Para x $ 3 __ 
2
 :
 u 2x – 3 u + u x + 1 u # 4
(2x – 3) + (x + 1) # 4
3x # 6
x # 2
Calculando a intersecção:
[ 3 __ 2 , + `[ ù ] –`, 2] = [ 3 __ 2 , 2 ]
Finalmente, unimos os conjuntos soluções de cada intervalo:
S = [0, 3 ___ 2 [ ø [ 3 __ 2 , 2 ] = [ 0, 2 ]
Equações modular
FONTE: YOUTUBE
multimídia: vídeo
Na Física, ao calcular a velocidade de um móvel que se desloca no sentido negativo do eixo das abscissas obtém-se, 
por exemplo, –3m/s, a velocidade será definida como 3 m/s, ou seja, utiliza-se o módulo como uma ferramenta no 
cálculo de distâncias.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
36
EQUAÇÕES MODULARES
MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
INEQUAÇÕES MODULARES
CONDIÇÃO DE 
EXISTÊNCIA
| x | ≥ 0
| x - 5 | = -2x + 1
x = 2 não convém
x - 5 = -2x + 1
x = -4
x - 5 = - (-2x + 1)
ou
EXEMPLO:
| x | =
x, se x ≥ 0
-x, se x ≤ 0
a-a
| x | > a
x > a
x < -a
ou
a-a
| x | ≥ a
x ≥ a
x ≤ -a
ou
a-a
| x | < a -a < x < a
a-a
| x | ≤ a -a ≤ x ≤ a
PROPRIEDADES 
IMPORTANTES:
P1: | x | ≥ 0
P2: | x · y | = | x · y | 
P3: | x + y | ≤ | x | + | y |
P4: | x – y | ≥ | x | – | y |
P5: | x |
2 = x2
P6: √x
2 = | x |
| x | = k
x = k
x = -k
ou | x | = | y |
x = y
x = -y
ou
 DIAGRAMA DE IDEIAS
37
 FUNÇÕES MODULARES
COMPETÊNCIAS: 3, 4 e 5 HABILIDADES:
12, 15, 17, 18, 19, 
20 e 21
AULAS 
33 E 34
1. FUNÇÕES MODULARES
1.1. Definição
A uma função f: R R, definida por f(x) = u x u , dá-se 
o nome de função modular. Pela definição de módulo 
ou valor absoluto de um número real, também podemos 
definir a função modular como:
f(x) = 
x, se x $ 0
ou
–x, se x < 0
Como o módulo de um número real é sempre positivo ou 
nulo, o conjunto imagem é Im(f) = R+.
1.2. Gráfico
A partir de sua definição, vamos construir o gráfico da fun-
ção modular. A função modular é uma função definida 
por várias sentenças, ou seja, ela se comporta de ma-
neiras distintas para cada intervalo de x.
 Para x $ 0, a função é y = x, ou seja, uma semirreta 
com inclinação positiva, ocupando somente o primei-
ro quadrante.
 Para x < 0, a função é y = –x, ou seja, uma semirreta 
com inclinação negativa, ocupando somente o segun-
do quadrante.
y = x, para x > 0
y = -x, para x < 0
Reunindo os dois gráficos, temos:
Observe que, pelo gráfico, podemos ver facilmente que o 
conjunto imagem é R+.
 Aplicação do conteúdo
1. Construa o gráfico da função f(x) = u 2x – 8 u .
Pela definição de módulo de um número real, temos:
f(x) = u 2x – 8 u = 
2x – 8, se 2x – 8 $ 0
ou
–(2x – 8), se 2x – 8x < 0
Como (2x – 8 $ 0 x $ 4) e (2x – 8 < 0 x < 4), 
podemos reescrever a função como:
f(x) = 
2x – 8, se x $ 4 (I)
ou
–(2x – 8), se x < 4 (II)
Construindo os gráficos das funções y = 2x – 8 e y = – 2x + 8, 
temos:
38
Reunindo ambos os gráficos, obtemos o gráfico de f(x) = u 2x – 8 u :
2. Construa o gráfico da função f(x) = u x2 – 4 u .
Uma maneira rápida de construir o gráfico de uma função 
composta com a modular do tipo f(x) = |g(x)| é construir o 
gráfico da função g(x) = x2 – 4 e “espelhar” a parte que 
possui imagem negativa para a parte positiva. Veja:
Gráfico de g(x) = x2 – 4
Raízes: x1 = –2 e x2 = 2
Pelo gráfico, vemos que a função é negativa para –2 < x < 2. 
Sendo assim, traçamos a parte do gráfico compreendida entre 
–2 e 2, novamente de maneira simétrica ao eixo x:
3. f(x) = u x – 3 u + 1
Analisando o módulo u x – 3 u , temos:
 u x – 3 u = 
x – 3, se x $ 3
ou
–(x – 3), se x < 3
Logo, para intervalos diferentes de x, a função f(x) possui 
uma definição diferente:
f(x) = 
x – 3 + 1, se x $ 3
ou
–(x – 3) + 1, se x < 3 
 f(x) = 
x – 2, se x $ 3 (I)
ou
–x + 4, se x < 3 (II)
Gráfico de (I), onde f(x) = x – 2 para x $ 3:
Gráfico de (II), onde f(x) = –x + 4, para x < 3:
39
Reunindo ambos os gráficos, temos, finalmente, o gráfico 
de f(x):
4. Construa o gráfico da função:
f(x) = u x – 1 u + u 2x – 4 u .
Neste caso, devemos analisar o comportamento de cada 
módulo separadamente:
(I) u x – 1 u = 
x – 1, se x – 1 $ 0
ou
–(x – 1), se x – 1 < 0
 
 u x – 1 u = 
x – 1, se x $ 1
ou
–x + 1, se x < 1
(II) u 2x – 4 u = 
2x – 4, se 2x – 4 $ 0
ou
–(2x – 4), se 2x – 4 < 0
 
 u 2x – 4 u = 
2x – 4, se x $ 2
ou
–2x + 4, se x < 2
Veja que, em x = 1 e em x = 2, cada módulo muda seu 
comportamento. Vamos fazer então uma tabela:
 Para x < 1:
f(x) = (–x + 1) + (–2x + 4) = –3x + 5
 Para 1 ≤ x < 2:
f(x) = (x – 1) + (–2x + 4) = –x + 3
 Para x > 2:
f(x) = (x – 1) + (2x – 4) = 3x – 5
Finalmente, reunindo os três gráficos, temos o gráfico de f(x):
5. Construa o gráfico da função f(x) = 
|x|
 __ x .
Analisando u x u , temos:
 u x u = x, se x $ 0
–x, se x < 0
40
Portanto, substituindo esta definição em f(x), temos:
f(x) = 
 x _ 
x
 , se x . 0, x ≠ 0
– x _ x , se x < 0, x ≠ 0
Simplificando as frações:
f(x) = 1, se x . 0, x ≠ 0
–1, se x < 0, x ≠ 0 
Portanto,o gráfico da função f(x) é:
6. Construa o gráfico da função f(x) = x2 – 5 u x u + 6.
Analisando o módulo, temos:
 u x u = x, se x $ 0
–x, se x < 0
Portanto, para f(x):
f(x) = 
x2 – 5x + 6, se x $ 0
x2 – 5(–x) + 6, se x < 0
Desenvolvendo:
f(x) = x
2 – 5x + 6, se x $ 0 (I)
x2 + 5x + 6, se x < 0 (II)
Gráfico de (I):
A função f(x) = x2 – 5x + 6 é quadrática de raízes x1 = 2 e 
x2 = 3 e concavidade para cima:
Gráfico de (II):
A função f(x) = x2 + 5x + 6 é quadrática de raízes x1 = –2 
e x2 = –3 e concavidade para cima:
Portanto, unindo os dois gráficos, obtemos o gráfico de f(x) 
para todo x:
2. ANÁLISE DE GRÁFICOS
2.1. Construção de gráficos
Como podemos construir o gráfico de uma função co-
nhecendo a sua lei de correspondência y = f(x) e seu 
domínio D?
Um método simples é o seguinte:
 1° passo: construímos uma tabela, na qual aparecem 
os valores de x (variável independente) e os valores do 
correspondente y, e calculamos por meio da lei y = f(x).
 2° passo: representamos cada par ordenado (a, b) 
da tabela por um ponto do plano cartesiano.
 3° passo: ligamos os pontos construídos no passo an-
terior por meio de uma curva, que é o próprio gráfico 
da função y = f(x).
Exemplos
Vamos construir o gráfico da função y = 2x, com domínio 
em R.
 1° passo: damos a x alguns valores inteiros (–3, –2, 
–1, 0, 1, 2 e 3, por exemplo) e alguns valores fracioná-
rios ( – 3 __ 2 , – 1 __ 2 , 1 __ 2 e 3 __ 2 , por exemplo ) e calculamos y = 2x. 
41
Teremos a tabela:
x –3 –2 –1 0 1 2 3
y –6 –4 –2 0 2 4 6
x – 3 __ 2 – 
1 __ 2 
1 __ 2 
3 __ 2 
y –3 –1 1 3
 2° passo: representamos os pares ordenados que es-
tão nessa tabela por pontos, a saber:
 3° passo: desenhamos a curva “provável” que con-
tém os pontos que satisfazem a lei y = 2x. Nesse caso, 
é uma reta.
Uma noção importante que devemos ter em mente são 
as consequências sobre o gráfico de uma função, con-
forme somamos ou multiplicamos constantes sobre ela. 
Veremos, a seguir, alguns casos importantes e o efeito 
sobre seus gráficos.
 g(x) = f(x) ± k
Considerando uma função real f(x) e uma constante real po-
sitiva k, o gráfico de f(x) + k desloca-se k unidades “para 
cima” em relação ao gráfico de f(x), aumentando em k 
unidades todos os pontos-imagem de f(x). Analogamente, 
o gráfico de f(x) – k se desloca “para baixo” k unidades.
Por exemplo, para a função f(x) = x2, veja os gráficos de 
f(x) + 4 e f(x) – 4:
A mesma consequência é observada entre os pares de grá-
ficos das funções a seguir:
f(x) = 2x2 e g(x) = 2x2 + 3
f(x) = log(x) e g(x) = log(x) – 5
f(x) = u x u e g(x) = u x u + 3
f(x) = 2x e g(x) = 2x + 3
 g(x) = f(x ± k)
Considerando novamente uma constante real positiva k e 
uma função real f(x) qualquer, o gráfico de f(x + k) desloca-se 
42
para a esquerda no plano cartesiano, enquanto que o gráfi-
co de f(x – k) desloca-se para a direita no plano.
Por exemplo, considere a função real f(x) = x2 e os gráficos 
das funções f(x + 2) = (x + 2)2 e f(x – 2) = (x –2)2:
A mesma consequência ocorre para os seguintes pares 
de funções:
f(x) = 2x2 e g(x) = 2(x + 5)2
f(x) = log(x) e g(x) = log(x – 1)
f(x) = u x u e g(x) = u x + 6 u 
f(x) = 2x e g(x) = 2x – 7
 g(x) = –f(x)
Considerando o gráfico de uma função real f(x), a função 
g(x) = –f(x) será simétrica em relação ao eixo x ao gráfico 
de f(x):
Ou seja, ao multiplicar a função f(x) por –1, “espelhamos” 
seu gráfico em relação ao eixo x. Essa consequência pode 
ser vista nas seguintes funções:
f(x) = x2 e g(x) = –x2
f(x) = log(x) e g(x) = –log(x)
f(x) = u x u e g(x) = – u x u 
f(x) = 2x e g(x) = –2x
 g(x) = f(–x)
Considerando uma função real f(x) e seu gráfico, o gráfico 
de g(x) = f(–x) será simétrico em relação ao eixo y:
Geógrafos e meteorologistas exercitam juntos a prática diária de análises de temperaturas nas cidades brasileiras. 
Logo, as funções modulares estão diretamente ligadas aos seus trabalhos, pois, pelas variações de temperatura em 
uma dada cidade e em um dado período do ano, é possível obter rankings que distinguem as cidades mais frias das 
mais quentes. 
VIVENCIANDO
43
Ou seja, ao multiplicar x por –1, “espelhamos” o gráfico de f(x) em relação ao eixo y. Esta consequência pode ser observada 
nas funções:
f(x) = x2 e g(x) = (– x)2
f(x) = log(x) e g(x) = log(–x)
f(x) = u x u e g(x) = u –x u 
f(x) = 2x e g(x) = 2–x
2.2. Tabela de gráficos de funções
44
2.3. Crescimento e decrescimento
Através do gráfico de uma função, podemos analisar os in-
tervalos em que a função cresce ou decresce. Veja o exem-
plo a seguir:
Pelo gráfico, podemos ver que, entre os pontos A e B, a 
função é crescente; à medida que ocorre um incremen-
to em x há um aumento consequente em y. Enquanto 
isso, entre os pontos B e C, a função é decrescente.
Os pontos B e C são máximo e mínimo locais, respectiva-
mente, enquanto que os pontos D e A são, respectivamen-
te, máximo e mínimo globais.
2.4. Análise de imagem e domínio
Também podemos analisar, a partir do gráfico de uma função 
f(x), seus conjuntos domínio e imagem. Veja um exemplo:
Para determinar o conjunto imagem da função a partir do 
gráfico, encontramos os pontos máximo e mínimo da função 
(em y). Ao analisar o gráfico, vemos que o valor mínimo que 
a função atinge é –7, enquanto que o valor máximo é 7. 
Portanto, o conjunto imagem é Im(f) = [ –7, 7 ].
Para a determinação do domínio, analisamos o intervalo ao 
longo do eixo x ao qual a função está definida. Para a fun-
ção f(x) apresentada, a função existe de x = –5 até x = 6. 
Portanto, seu domínio é D(f) = [ –5, 6 ].
Veja mais alguns exemplos:
 f(x) = 2x
O gráfico de f(x) = 2x é:
Na função exponencial apresentada, apesar de tender à zero, 
quando x apresenta valores cada vez maiores e negativos, 
nunca temos, efetivamente, um valor de x tal que f(x) = 0. Por 
outro lado, conforme x cresce no sentido positivo, a função 
2x atinge valores cada vez maiores. Portanto, seu conjunto 
imagem é Im(f) = ] 0, +` [.
Para o domínio, vemos que todos os valores reais de x 
estão associados a um valor em y; portanto D(f) = R.
 f(x) = x2 – 8x + 17
Como a coordenada y do vértice da parábola da função qua-
drática é 1, este é seu valor mínimo. Portanto, Im(f) = [ 1, +` [.
Apesar de não estar apresentado no gráfico, a função se 
estende por todo o eixo x; portanto, D(f) = R.
2.5. Outro método para construir 
gráficos de funções modulares
Podemos utilizar os conceitos de construção de gráficos 
estudados neste capítulo para construir alguns gráficos de 
funções modulares, de uma maneira mais rápida.
Veja como exemplo: f(x) = u 2 – u x – 4 u u . Para construir o 
gráfico de f(x), que é uma função composta, podemos 
construir seu gráfico, gradativamente, pelas funções:
45
f1(x) = u x u (função modular)
f2(x) = u x – 4 u (deslocamos o gráfico de f1(x) quatro unida-
des para a direita)
f3(x) = – u x – 4 u (invertemos o gráfico de f2(x) ao redor do 
eixo x)
f4(x) = 2 – u x – 4 u (deslocamos o gráfico de f3(x) duas uni-
dades para cima)
f(x) = u 2 – u x – 4 u u (“espelhamos” os pontos de imagem 
negativa de f4(x))
 f1(x) = | x |
 f2(x) = |x – 4|
Para o gráfico de f2(x), como f2(x) = f1 (x – 4), deslocamos 
o gráfico de f1(x) quatro unidades para a direita e calcula-
mos os pontos de intersecção com os eixos:
 f3(x) = – |x – 4|
Como f3(x) = – f2(x), temos:
 f4(x) = 2 – |x – 4|
Como f4(x) = f3(x) + 2, deslocamos o gráfico de f3(x) duas 
unidades para cima, novamente calculando os pontos de 
intersecção com os eixos:
 f(x) = |2 –|x – 4||
Finalmente, como f(x) = |f4(X)|, tomamos os pontos simétri-
cos aos pontos de imagem negativa de f4(x):
 
“A História da Matemática - Desde a criação 
das pirâmides até a exploração do infinito” 
aborda as conquistas matemáticas, que ao lon-
go do tempo vem descobrindo os padrões e re-
gras que governam nosso mundo e além dele. 
A história da Matemática – Anne Rooney
multimídia: livros
46
A função modular tem várias aplicações no cotidiano,como a aplicação em comparação das temperaturas entre duas 
ou mais cidades, satélites comandados por computadores, interações geofísicas, químicas e tantas outras atividades 
do nosso meio envolvidas com a Física, Química, Geografia, entre outras. 
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
FUNÇÕES MODULARES GRÁFICOS
DEFINIÇÃO
CONSTRUÇÃO
DE GRÁFICOS
PASSO 1
CONSTRUIR A TABELA COM 
VALORES DE X E F(X)
PASSO 2
REPRESENTAR OS PARES ORDENA-
DOS EM UM PLANO CARTESIANO
PASSO 3
LIGAR OS PONTOS CONSTRU-
ÍDOS NO PASSO ANTERIOR 
POR MEIO DE UMA CURVA
Ex: f(x) = |x|
f(x) = –x
para x < 0 
f(x) = x
para x ≥ 0 
y
x 
DEFINIDA POR 
VÁRIAS SENTENÇAS 
MATEMÁTICAS
(DESLOCA-SE
K UNIDADES 
“PARA CIMA”)
+k
-k (DESLOCA-SE
K UNIDADES 
“PARA BAIXO”)
k+-g(x) = f(x)
(DESLOCA-SE
K UNIDADES 
“PARA ESQUERDA”)
+k
-k (DESLOCA-SE
K UNIDADES 
“PARA DIREITA”)
k+-g(x) = f(x )
Im(f) = +
ou
f(x) =
x, se x ≥ 0
–x, se x < 0
f: 
f(x) = |x|
 DIAGRAMA DE IDEIAS
47
ÁLGEBRA E TRIGONOMETRIA: Incidência do tema nas 
principais provas
UFMG
Na primeira e segunda fase, apresentará 
questões com os temas deste livro, sendo 
arranjo com alta incidência.
Apresenta questões sobre princípio 
fundamental da contagem associadas à 
probabilidade.
A prova apresenta questões sobre inequações 
trigonométricas e contagem.
A prova apresenta contagem associada a 
problemas do dia a dia. Inequações trigo-
nométricas possuem incidência menor com 
questões difíceis.
A prova apresenta questões muito bem elabo-
radas sobre arranjos e permutações.
A prova tem um bom índice de questões so-
bre contagem e permutação com repetição.
A prova apresenta incidência mediana nos 
assuntos abordados neste livro.
No Enem, ocorrem questões sobre contagem, 
permutação e arranjo. O candidato deve tomar 
cuidado ao analisar o texto para não cair em 
truques.
Os temas das aulas deste livro são essenciais 
para a prova da Fuvest e para a base dos 
estudos de probabilidade.
A prova apresenta boa incidência de questões 
de contagem, mas também não faltará arranjo 
e permutação com repetição.
A prova pode apresentar inequações trigono-
métricas em uma questão difícil e muito bem 
elaborada. Deve-se ter atenção com intervalos 
associados na trigonométrica. Permutações 
e arranjos também aparecerão com grau 
mediano.
A prova tem baixa incidência em questões 
sobre permutação, mas, quando aparece, te-
mos uma prova bem elaborada e consistente. 
O candidato deve ter atenção a pegadinhas 
sobre arranjo e métodos mais simples de 
resolução.
É essencial interpretar os dados e encontrar 
uma forma mais simples de resolver o arranjo 
e a permutação. As questões são muito bem 
elaboradas.
Não faltará uma questão de arranjos e 
permutação. Saber todos os temas deste livro 
é essencial para calcular probabilidade.
A prova apresentará junto a uma análise de 
texto os conceitos do princípio fundamental 
da contagem. As questões são muito bem 
elaboradas para confundir o candidato.
48
 INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
COMPETÊNCIA: 5 HABILIDADES: 21 e 22 
AULAS 
27 E 28
1. INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Uma inequação trigonométrica é uma desigualdade em 
cujas incógnitas aparecem funções trigonométricas.
Exemplos
 sen x < 1 __ 
2
 
 cos x ≤ 
dXX 2 ___ 
2
 
 tg x ≥ dXX 3 
Como não existe um padrão único para resolvê-las, suas res-
oluções serão expostas nos seguintes exemplos de aplicação.
 Aplicação do conteúdo
1. Resolva a inequação em cada item:
a) sen x > – 1 __ 
2
 
No intervalo [0, 2p] há:
sen x > – 1 __ 
2
 ä 
0 # x < 7p ___ 
6
 
ou
 11p ____ 
6
 < x # 2
Assim, a solução geral é:
S = { x [ R | 2kp # x < 7p ___ 6 + 2kp 
ou 11p ____ 
6
 + 2kp < x # 2p + 2 kp } 
b) sen x # – 1 __ 
2
 , em [0, 2 ]
No círculo trigonométrico, nota-se no intervalo [0, 2p]:
S = { x [ R| 7p ___ 6 # x # 11p ____ 6 } 
c) cos x > 1 __ 
2
 
No intervalo [0, 2p] há:
cos x > 1 __ 
2
 ä 
0 # x < p __ 
3
 
ou
 5p ___ 
3
 < x # 2 
Assim, a solução geral é:
S = { x [ R | 2kp # x < p __ 3 + 2kp
ou 5p ___ 
3
 + 2kp < x # 2p + 2kp } 
49
d) cos x # – 1 __ 
2
 , para x [ [0, 2p]
No círculo trigonométrico, nota-se:
S = { x [ R | 2p ___ 3 # x # 4p ___ 3 } 
e) tg x > dXX 3 
No intervalo 0 # x # 2p, considere, inicialmente, x i p __ 
2
 e 
x i 3p ___ 
2
 (para que haja tg x).
Portanto:
tg x > √
__
 3 ä 
 p __ 
3
 < x < p __ 
2
 
ou
 4p ___ 
3
 < x < 3p ___ 
2
 
Assim, a solução é: 
S = { x [ R | p __ 3 + 2kp < x < p __ 2 + 2kp
ou 4p ___ 
3
 + 2kp < x < 3p ___ 
2
 + 2kp } 
f) tg x $ – √
__
 3 , com x [ [0, 2p]
Em [0, 2p], considere x i p __ 
2
 e x i 3p ___ 
2
 (para que haja tg x).
Na figura, nota-se:
S = { x [ R | 0 # x < p __ 2 
ou 2p ___ 
3
 x < 3___ 
2
 ou 5p ___ 
3
 # x # 2p } 
2. Resolva a inequação cos 2x > 0 no intervalo 0 # x # p.
Se 2x = a, cos a > 0, com 0 # a # 2p.
Na figura, nota-se:
0 # a < p __ 
2
 ou 3p ___ 
2
 < a # 2p
Se a = 2x:
0 # 2x < p __ 
2
 ou 3p ___ 
2
 < 2x # 2p ä
ä 0 # x < p __ 
4
 ou 3p ___ 
4
 < x # p
S = { x [ R | 0 # x < p __ 4 ou 3p ___ 4 < x # p } 
3. Resolva a inequação sen ( 2x – p __ 4 ) $ 
1 __ 
2
 .
Se ( 2x – p __ 4 ) = a, tem-se sen a $ 1 __ 2 .
50
Na figura, nota-se:
 p __ 
6
 + 2kp # a # 5p ___ 
6
 + 2kp
Se a = 2x – p __ 
4
 :
 p __ 
6
 + 2kp # 2x – p __ 
4
 # 5p ___ 
6
 + 2kp ä
ä ( p __ 6 + p __ 4 ) + 2kp # 2x # ( 5p ___ 6 + p __ 4 ) + 2kp ä
ä 5p ___ 
12
 + 2kp # 2x # 13p ____ 
12
 + 2kp # ä
ä 5p ___ 
24
 + kp # x # 13p ____ 
24
 + kp
S = { x [ R | 5p ___ 24 + kp # x # 13p ____ 24 + kp } 
4. Resolva a inequação tg 3x > 1.
Se 3x = a:
tg a > 1
Na circunferência trigonométrica, nota-se:
 p __ 
4
 + kp < a < p __ 
2
 + kp
Como a = 3x:
 p __ 
4
 + kp < 3x < p __ 
2
 + kp ä
 ä p ___ 
12
 + k · p __ 
3
 < x < p __ 
6
 + k · p __ 
3
 
S = { x [ R | p ___ 12 + k · 
p __ 
3
 < x < p __ 
6
 + k · p __ 
3
 } 
5. Resolva |cos x| > 1 __ 
2
 em [0, 2p].
Se |cos x| > 1 __ 
2
 , cos x > 1 __ 
2
 ou cos x < – 1 __ 
2
 .
S = { x [ R | 0 # x < p __ 3 ou 2p ___ 3 < x < 4p ___ 3 
ou 5p ___ 
3
 < x # 2p } 
6. Determine x, tal que 0 # x # 2p e tg2 x # tg x.
Se tg x = a, a2 – a # 0.
a2 – a = 0 ä a(a – 1) = 0 ä a = 0 ou a = 1
0 # a # 1
0 # tg x # 1
S = { x [ R | 0 # x # p __ 4 ou p # x # 5p ___ 4 } 
51
7. Determine o domínio da função f, tal que 
f (x) = dXXXXXXXXX sen ( x – p __ 3 ) .
Para que dXXXXXXXXX sen ( x – p __ 3 ) exista em , é necessário que 
sen ( x – p __ 3 ) $ 0, que é uma inequação trigonométrica.
Na figura, nota-se:
sen ( x – p __ 3 ) $ 0 ä
ä 0 + 2kp # x – p __ 
3
 # p + 2kp ä
ä p __ 
3
 + 2kp # x # p + p __ 
3
 + 2kp
D(f) = { x [ R | p __ 3 + 2kp # x # 4p ___ 3 + 2kp } 
Esse livro é enriquecido com inúmeros textos 
de História da Matemática e com problemas 
propostos e resolvidos ao longo de todo o 
desenvolvimento teórico. No final de cada 
volume, o livro apresenta a seção “Testes de 
vestibulares”, que são exercícios seleciona-
dos e organizados em ordem de dificuldade, 
com seus respectivos gabaritos.
Fundamentos de Matemática Elementar – 
Trigonometria, de Celson Iezzi
multimídia: livros
A inequação trigonométrica é um recurso da linguagem matemática utilizado na organização de problemas, uma 
vez que as medidas sempre são variáveis, por mais precisos que sejam os instrumentos de medição. O princípio da 
inequação é utilizado, por exemplo, quando duas quantidades são comparadas com o intuito de se descobrir qual 
delas é a maior.
VIVENCIANDO
52
DESIGUALDADES EM QUE AS INCÓGNITAS 
APARECEM NAS MEDIDAS DOS ARCOS OU DOS 
ÂNGULOS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
NÃO EXISTE UM PADRÃO DE RESOLUÇÃO. É 
NECESSÁRIOCONHECER ALGUMAS APLICAÇÕES
INEQUAÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS
senx 12
1
2senx
3tgx
EX.:
 DIAGRAMA DE IDEIAS
53
 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
COMPETÊNCIA: 1 HABILIDADES: 2 e 3
AULAS 
29 E 30
1. ANÁLISE COMBINATÓRIA
Veja as seguintes questões:
 Sabendo que, em uma sorveteria, há 5 tipos de massas 
e 3 tipos de cobertura, de quantas maneiras diferentes 
pode-se formar um sorvete com massa e cobertura?
 De quantas maneiras diferentes podemos dispor 5 pes-
soas em cinco assentos de cinema?
 Em uma sala de 40 alunos, deve-se escolher 4 deles para 
participarem da comissão de formatura. De quantas ma-
neiras diferentes podemos escolher essa comissão?
Estas questões são estudadas no ramo da matemática cha-
mado análise combinatória, em que estudamos técni-
cas de contagem, ou seja, dada uma situação, queremos 
analisar de quantas maneiras esse evento pode ocorrer.
Em muitos problemas envolvendo a análise combinatória 
é comum encontrarmos mais de uma forma de resolver o 
mesmo problema, apesar do resultado final ser o mesmo. 
Desta forma, analisaremos vários exemplos, a fim de de-
monstrar os métodos mais simples de resolução, para que 
os conceitos possam ser aplicados em qualquer exercício. 
Veja os dois problemas a seguir:
1. De quantas maneiras podemos alocar cinco pessoas 
(Ana, Beto, Carlos, Diego e Eduardo) em um carro de cinco 
lugares, sabendo que apenas o Eduardo pode dirigir?
2. Um homem esqueceu sua senha do banco, porém, lem-
bra-se que a senha possui cinco algarismos distintos: 0, 2, 
3, 5 e 7. Além disso, também se lembra que a senha come-
ça com o algarismo 7. Quantas senhas possíveis podem ser 
formadas dessa forma?
A resolução de ambos os problemas é a mesma. Em ambos 
os casos, temos um conjunto de 5 elementos:
A = {Ana, Beto, Carlos, Diego, Eduardo) e B = {0, 2, 3, 5, 7}
Também, em ambos os casos, um dos elementos já possui 
sua posição determinada. Resta somente a permutação (a 
“troca de lugares”) dos outros quatro elementos restantes, 
visto que são todos distintos.
É importante conseguirmos analisar os problemas e iden-
tificar essas similaridades, percebendo que o método de 
resolução independe do contexto do problema.
1.1. Princípio fundamental da contagem
Observe o seguinte problema:
Um jovem estudante, durante seu período de férias esco-
lares, decide fazer uma viagem. Ele mora na cidade de São 
Paulo e possui três possíveis cidades como destino: Rio de 
Janeiro, Belo Horizonte ou Curitiba.
Ao pesquisar, descobriu que, para cada cidade, há a pos-
sibilidade de transporte por avião ou por ônibus. Quantas 
opções de viagem no total existem para o estudante, sendo 
que visitará apenas uma cidade na viagem?
1.1.1. Resolução
Para cada uma das três cidades de destino, temos duas 
possibilidades de transporte. Podemos dispor todas as pos-
sibilidades em um diagrama de árvore:
Desta forma, podemos verificar facilmente que existem, 
portanto, 6 possibilidades para a viagem:
54
(Rio de Janeiro, Ônibus), (Rio de Janeiro, Avião), (Belo Ho-
rizonte, Ônibus), (Belo Horizonte, Avião), (Curitiba, Ônibus) 
e (Curitiba, Avião).
Neste caso, é fácil montar o diagrama de árvore e determinar 
todas as possibilidades, porém, se a quantidade de possibilida-
des fosse muito grande, seria trabalhoso montar o diagrama. 
Para realizar este cálculo, utilizamos o Princípio Fun-
damental da Contagem (PFC):
Suponha um determinado evento constituído de duas 
etapas sucessivas, sendo que a primeira pode aconte-
cer de a maneiras e a segunda de b maneiras. Sendo 
as duas etapas eventos independentes um do outro (a 
escolha de uma maneira da primeira etapa não altera 
a escolha da segunda), temos que o total de maneiras 
T que o evento pode ocorrer é dado pelo produto:
T = a · b
Podemos estender esta definição para qualquer nú-
mero de etapas sucessivas.
Poderíamos chegar ao mesmo resultado do problema re-
solvido anteriormente utilizando o PFC: como existem 3 
possibilidades de destino e 2 possibilidades de transporte, 
a quantidade de maneiras distintas de realização da via-
gem é dada por 2 · 3 = 6 maneiras.
 Aplicação do conteúdo
1. Quantos números de 3 algarismos podem ser forma-
dos com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6?
Há 5 possibilidades para a escolha do algarismo das cente-
nas, 5 para o algarismo das dezenas e 5 para o das unida-
des. Portanto, pelo PFC:
Portanto, há 125 números formados pelos algarismos 2, 
3, 4, 5 e 6.
2. Quantos números de 3 algarismos distintos podem 
ser formados com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6?
Perceba que, neste caso, não é possível a formação dos 
números 222, 244, 445, 556, por exemplo, pois estes nú-
meros possuem algarismos repetidos (não distintos). Neste 
caso, queremos apenas os números que possuem algaris-
mos distintos um do outro. 
1ª etapa – escolha do algarismo das centenas: 5 manei-
ras distintas.
2ª etapa – escolha do algarismo das dezenas: 4 maneiras 
distintas, visto que um dos algarismos já foi escolhido para 
o algarismo das centenas;
3ª etapa – escolha do algarismo das unidades: 3 manei-
ras distintas, pois já foram escolhidos um algarismo para a 
centena e um para a dezena.
Portanto, há 5 · 4 · 3 = 60 números de algarismos 
distintos possíveis.
3. Três carros chegam em um estacionamento ao mes-
mo tempo. Ao chegarem, o gerente do estacionamen-
to verifica que há cinco vagas disponíveis. De quantas 
maneiras distintas o gerente pode estacionar todos os 
três carros? 
Devemos sempre analisar quais são as etapas que devem 
acontecer para o evento (estacionar todos os carros) ocor-
rer. Iremos escolher quais vagas cada carro pode ocupar, ou 
quais carros cada vaga pode ocupar?
1ª etapa – escolha da vaga do primeiro carro: 5 vagas distintas;
2ª etapa – escolha da vaga do segundo carro: 4 vagas 
distintas (uma já ocupada);
Quebrando a banca
Baseado em uma história real, “Quebrando a 
banca”, conta como um estudante do M.I.T 
(Massachusetts Institute of Technology) que, 
juntamente com os alunos mais brilhantes 
da faculdade, aplicou um dos maiores golpes 
da história de Las Vegas. A excêntrica equipe 
utilizava o cálculo estatístico para faturar mi-
lhões de dólares jogando vinte e um, através 
de um método simples de contar cartas.
FONTE: YOUTUBE
multimídia: vídeo
55
3ª etapa – escolha da vaga do terceiro carro: 3 vagas 
distintas (duas já ocupadas).
Portanto:
 5 · 4 · 3 = 60 maneiras distintas
 1º carro 2º carro 3º carro
4. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7:
a) quantos números de 3 algarismos podemos formar?
b) quantos números de 3 algarismos distintos pode-
mos formar?
Resolução:
Neste caso, o zero apresenta uma restrição. Veja:
a) 7 ______ 
centena
 ∙ 8 ______ 
dezena
 ∙ 8 ______ 
unidade
 
Há 7 possibilidades para a centena (0 não é permi-
tido), 8 para a dezena e 8 para a unidade. Portanto, 
podemos formar 7 · 8 · 8 = 448 números.
b) 7 ______ 
centena
 ∙ 7 ______ 
dezena
 ∙ 6 ______ 
unidade
 
Com 3 algarismos distintos, há 7 possibilidades 
para a centena, 7 para a dezena e 6 para a unidade. 
Portanto, podemos formar 7 ∙ 7 ∙ 6 = 294 números 
de 3 algarismos distintos com os algarismos 0, 1, 2, 
3, 4, 5, 6 e 7.
O princípio fundamental da contagem é a estrutura básica da análise combinatória. Por meio dele, desenvolvemos 
técnicas e métodos de contagem na resolução de problemas que estão diretamente ligados ao nosso cotidiano, 
como os modos distintos que podemos organizar as pessoas em uma fila, o número de placas de automóveis que 
podemos formar com letras e algarismos, as possíveis combinações da Mega-Sena, entre outras situações.
VIVENCIANDO
multimídia: sites
pt.khanacademy.org/math/probability/
probability-geometry/counting-permuta-
tions/e/fundamental-counting-principle
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
Habilidade
Dentro das competências da área 1 do Enem, a habilidade 2 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação 
proposta a partir de conhecimentos sobre análise combinatória.
Identificar padrões numéricosou princípios de contagem.2
56
Modelo
(Enem) Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão 
de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem 
cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” representam, respecti-
vamente, letra maiúscula e dígito.
Opção Formato
I LDDDDD
II DDDDDD
III LLDDDD
IV DDDDD
V LLLDD
As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer 
das opções.
A empresa quer escolher uma opção de formato, cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número 
esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes.
A opção que mais se adequa às condições da empresa é:
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
Análise expositiva - Habilidade 2: O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar um problema 
do cotidiano e utilizar seus conhecimentos sobre análise combinatória para a sua resolução.
O número de senhas para cada modelo de senha é:
Opção I: 26 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 26 × 105
Opção II: 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 106
Opção III: 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 26² × 104
Opção IV: 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 105
Opção V: 26 × 26 × 26 × 10 × 10 = 26³ × 10²
Calculando cada valor, o que se enquadra nas restrições feitas é a opção V.
Alternativa E
E
57
TÉCNICAS DE CONTAGEM
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL 
DA CONTAGEM (PFC)
DETERMINADO EVENTO COM DUAS 
OU MAIS ETAPAS SUCESSIVAS (a) 
MANEIRAS E (b) MANEIRAS
ANÁLISE 
COMBINATÓRIA
T = a · b
 DIAGRAMA DE IDEIAS
58
 FATORIAL, PERMUTAÇÃO SIMPLES 
E PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
COMPETÊNCIA: 1 HABILIDADES: 2 e 3
AULAS 
31 E 32
1. FATORIAL
Veja o seguinte problema:
 Cinco alunos de uma escola de música irão se apresentar 
individualmente em um festival musical. Quanto à ordem 
das apresentações, de quantas maneiras diferentes os 
cinco alunos podem cada um realizar sua apresentação?
Resolução:
Utilizando o Princípio Fundamental da Contagem, po-
demos afirmar que as apresentações podem ocorrer de 
5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 maneiras diferentes.
Porém, se houvesse 20 alunos para se apresentarem, tería-
mos que realizar o produto 20 · 19 · 18 · ... · 3 · 2 · 1. Para 
simplificar este tipo de cálculo, utilizamos uma notação es-
pecial: o fatorial.
1.1. Definição
Dado um número natural n > 2, definimos o fatorial de n 
(indicado por n!) como sendo o produto de todos os núme-
ros naturais menores ou iguais à n e maiores que zero. Isto é:
n! = n · (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) · ... · (2) · (1)
Por exemplo:
 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
 2! = 2 · 1 = 2
 10! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 3.628.800
Veja que a definição é válida para n > 2. Em particular, 
temos dois casos importantes:
0! = 1 e 1! = 1
Como veremos no cálculo de arranjos, permutações e com-
binações, é comum encontrarmos razões entre fatoriais. 
Por isso, é comum escrevermos fatoriais em função de fa-
toriais de números menores; veja um exemplo:
10! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 10 · 9!
9!
Também poderíamos escrever:
10! = 10 · 9 · 8! ou 10! = 10 · 9 · 8 · 7!
 Aplicação do conteúdo
1. Simplifique a expressão 15! ___ 
13!
 .
Resolução:
Reescrevemos o fatorial do maior número, no caso o nu-
merador, de forma a simplificar o denominador:
 15! ___ 
13!
 = 15 · 14 · 13! __________ 
13!
 = 15 · 14 = 210
2. Simplifique a expressão 20! ________ 
19! + 20!
 .
Resolução:
 20! ___________ 
19! + 20 · 19!
 = 20! __________ 
19! (1 + 20)
 = 20 · 19! _______ 
19! · 21
 = 20 ___ 
21
 
3. Resolva a seguinte equação, sabendo que x [ N*:
 (x + 1)! ______ 
(x – 1)!
 = 5x
O livro incorpora a experiência dos autores em 
ensinar Análise Combinatória, uma disciplina 
complicada, em que os alunos têm dificulda-
de de encontrar a fórmula correta para cada 
problema. A obra sugere que os problemas de 
contagem sejam resolvidos pelo uso de alguns 
princípios fundamentais, evitando as fórmulas.
Análise Combinatória e Probabilidade – 
Augusto Cesar Morgado, João Bosco 
Pitombeira de Carvalho, Paulo Cesar 
Pinto Carvalho, Pedro Fernandez
multimídia: livros
59
Utilizando a definição de fatorial, temos:
(x + 1)! = (x + 1) · (x) · (x – 1)!
Logo:
 (x + 1) · (x) · (x – 1)! _______________ 
(x – 1)!
 = 5x (x + 1) · x = 5x
Como x Þ 0, podemos simplificar o x em ambos os termos:
x + 1 = 5 x = 4
4. Encontre o valor de n na equação (n – 2)! = 720.
Devemos procurar um número natural, cujo fatorial seja 
igual a 720. Para isso, vamos decompor 720 em fatores 
consecutivos a partir de 2 :
720 2
360 3
120 4
30 5 720 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 6!
6 6
1
Resolução:
Logo:
(n – 2)! = 6! n – 2 = 6 n = 8
5. Se (n + 4)! + (n + 3)! = 15(n + 2)!, então:
a) n = 4.
b) n = 3.
c) n = 2.
d) n = 1.
e) n = 0.
Resolução:
Desenvolvendo cada fatorial da equação até chegar a um 
fator comum, temos:
(n + 4)! + (n + 3)! = 15(n + 2)! 
 (n + 4)(n + 3) (n + 2)! + (n + 3)(n +2)! = 15 (n + 2)! 
 (n + 4)(n + 3) + (n + 3) = 15 
 n2 + 8n + 15 = 15 
 n = 0 ou n = –8 (não convém)
Alternativa E
2. PERMUTAÇÃO SIMPLES
A palavra “permutação” significa troca, transposição. Na 
matemática, definimos as permutações de um conjun-
to A de n elementos como todas as sequências distintas 
possíveis de n elementos formadas pelos elementos de A. 
Veja um exemplo:
Vamos listar todos os anagramas da palavra “LAR”. Um 
anagrama é uma palavra obtida pelo rearranjo das letras 
da palavra original, assim como “Iracema” é um anagrama 
da palavra “América”.
Para a palavra “LAR”, temos:
LAR, LRA, ALR, ARL, RAL, RLA
A palavra “LAR” possui, portanto, 6 anagramas possíveis. 
Poderíamos determinar o número de anagramas pelo Prin-
cípio Fundamental da Contagem:
 3 · 2 · 1 = 3! = 6 anagramas
Portanto, para a palavra “LAR” existem 3! anagramas. 
Analogamente, para uma palavra de 4 letras distintas, ha-
veria 4! anagramas, para uma palavra de 5 letras distintas 
haveria 5! anagramas, e assim sucessivamente.
Com isso, concluímos que:
se um conjunto A possui n elementos distintos, definimos 
uma permutação como sendo toda sequência de n ele-
mentos de A, todos distintos. O número total de permuta-
ções de n elementos, Pn, é dado por:
Pn = n!
 Aplicação do conteúdo
1. Ao criar uma conta-corrente em uma certa agência ban-
cária, uma pessoa deve criar uma senha numérica de 6 
dígitos distintos com os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Quantas 
senhas possíveis é possível formar nesta configuração?
Resolução:
Queremos saber a quantidade de permutações de 6 elementos:
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Portanto, há 720 possibilidades diferentes para a senha numérica.
2. Cinco pessoas (A, B, C, D e E) vão a um concerto e 
existem 5 lugares em fila para se sentarem. Sabendo 
disso, faça o que se pede em cada item:
a) De quantas maneiras todas as cinco pessoas po-
dem se acomodar nas cadeiras?
60
b) Se A fizer questão de sentar na primeira cadeira, de 
quantas formas elas podem se acomodar na fileira?
c) Sabendo que B e C são um casal e irão sentar um 
ao lado do outro, de quantas formas diferentes então 
o grupo poderá se sentar?
Resolução:
a) Cada permutação das cinco pessoas representa uma 
maneira distinta de se sentarem. Sendo assim, temos 
no total P5 = 5! = 120 possibilidades diferentes.
b) Neste caso, um dos elementos está fixo:
 A · · · · 
Portanto, só precisamos calcular as permutações das 
4 pessoas restantes:
P4 = 4! = 24 possibilidades
c) Como B e C estão juntos, iremos considerá-los 
como um elemento só do conjunto; portanto, que-
remos calcular as permutações de quatro elementos: 
A , BC , D , E.
Temos, então, 4 elementos: P4 = 24 possibilidades.
Porém, para cada uma destas permutações existe a permu-
tação dentro do conjunto BC. Como BC possui 2 elemen-
tos, existem P2 = 2! possibilidades dentrodele: BC e CB. 
Portanto, o número de permutações no total é dado por:
PT = 24 · 2 = 48
3. Considerando a palavra “ALUNO”, faça o que se pede 
em cada item:
a) Quantos anagramas podem ser formados, sendo 
que as letras L, U e N sejam, não necessariamente 
nesta ordem, consecutivas?
b) Quantos anagramas podem ser formados de modo 
que as letras N e O não sejam consecutivas?
Resolução:
a) A palavra “ALUNO” possui 5 letras, porém, como 
L, U e N devem ser consecutivas, iremos considerá-las 
inicialmente como um só elemento. Portanto, vamos 
calcular o número de permutações de 3 elementos:
A , LUN , O
P3 = 3! = 6
Porém, como há 3 elementos dentro do bloco LUN , exis-
tem P3 = 6 permutações entre eles. Portanto, no total exis-
tem 6 · 6 = 36 anagramas distintos possíveis.
b) Neste caso, é mais simples calcularmos quantos 
anagramas existem em que N e O são consecutivos, 
e subtraí-los da quantidade total de anagramas. Esta 
técnica é muito comum em problemas de contagem.
Para os anagramas em que N e O são consecutivos, iremos 
proceder da mesma maneira do item anterior, consideran-
do N e O como um elementos só, restando 4 elementos:
A, L, U, NO
Portanto, há para cada P4 = 24 permutações dos 4 elementos 
e P2 = 2 permutações entre N e O. Logo, existem 24 · 2 = 48 
anagramas em que N e O são consecutivos.
Para o número de anagramas no total, simplesmente cal-
culamos o número total de permutações de 5 elementos: 
P5 = 5! = 120.
Finalmente, tomamos a diferença entre os dois resultados, 
sendo o total de anagramas em que N e O não são con-
secutivos, PT é:
PT = 120 – 48 = 72 anagramas
Quebrando a banca
Baseado em uma história real, “Quebrando a 
banca”, conta como um estudante do M.I.T 
(Massachusetts Institute of Technology) que, 
juntamente com os alunos mais brilhantes 
da faculdade, aplicou um dos maiores golpes 
da história de Las Vegas. A excêntrica equipe 
utilizava o cálculo estatístico para faturar mi-
lhões de dólares jogando vinte e um, através 
de um método simples de contar cartas.
FONTE: YOUTUBE
multimídia: vídeo
3. PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÃO
Consideremos os exemplos:
1. Quantos são os anagramas da palavra BATATA?
Se os A fossem diferentes e os T também, teríamos as letras 
B, A1, A2, A3, T1, T2 e o total de anagramas seria P6 = 6!.
Mas as permutações entre os três A não produzirão um 
novo anagrama. Então, precisamos dividir P6 por P3. O 
mesmo ocorre com os dois T: precisamos dividir também 
por P2.
61
Portanto, o número de anagramas da palavra BATATA é:
 
P6 _____ 
P3 · P2
 = 6! ____ 
3!2!
 = 6 · 5 · 4 · 3! _________ 
3!2!
 = 60
2. Quantos anagramas tem a palavra PAPA?
Se a palavra tivesse as 4 letras distintas, teríamos
P4 = 4! = 4 · 3 · 2 · 2 = 24.
Como a letra A e a letra P aparecem 2 vezes, devemos 
então fazer:
 
P4 _____ 
P2 · P2
 = 4! ____ 
2!2!
 = 4 · 3 · 2 ______ 
2 · 2
 = 6
Logo, a palavra PAPA tem 6 anagramas.
Generalizando:
Você já se perguntou como as placas dos carros nunca coincidem nas regiões do Brasil? Pois é... Cálculos obtidos 
pela análise combinatória permitem que situações como essa sejam moldadas a diferentes casos. Permutações são 
características dessa análise. Vejamos um exemplo: quando andamos na rua, podemos ter dois modos de pisar na 
calçada – “pé esquerdo/pé direito’’ ou “pé direito/pé esquerdo’’. Logo, dependendo do seu primeiro passo, toda uma 
sequência de passos se organiza, e a permutação nos ajuda a reorganizar esse ato de maneiras diferentes. Permutar 
nos ajuda a trocar de lugar e de inúmeras formas possíveis objetos distintos.
VIVENCIANDO
 Aplicação do conteúdo
1. Quantos são os anagramas da palavra ARARA?
Resolução:
Nesse caso, há 3 três letras A, 2 letras R e um total de 5 
letras. Então:
P5
3, 2 = 5! ____ 
3!2!
 = 5 · 4 · 3! _______ 
3!2!
 = 10
Logo, são 10 os anagramas da palavra ARARA.
2. Quantos são os anagramas da palavra DEZESSETE?
Resolução:
Nesse caso, há 4 letras E e 2 letras S, num total de 9 letras. 
Então, temos:
P9
4, 2 = 9! ____ 
4!2!
 = 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4! ______________ 
4!2!
 = 7560
3. Quantos anagramas da palavra CAMARADA come-
çam pela letra C?
Resolução
Fixamos a letra C como 1° letra e fazemos:
P7
4, 1, 1, 1 = 7! __ 
4!
 = 7 · 6 · 5 = 210
Portanto, são 210 os anagramas de CAMARADA que co-
meçam por C.
4. Quantos anagramas de CAMARADA começam com A?
Resolução:
ACAMARAD?
P7
3, 1, 1, 1, 1 = 7! __ 
3!
 = 7 · 6 · 5 · 4 = 840 anagramas
5. Determine quantas soluções naturais possui a equa-
ção x + y + z = 6.
Resolução:
Como a soma dos valores de x, y e z é 6, consideramos que 
precisamos separar 6 elementos em 3 partes. Cada modo 
de separamos 6 elementos em 3 partes é uma solução da 
equação. Por exemplo:
•• | •• | •• equivale a x = 2, y = 2 e Z = 2
• | ••••• equivale a x = 1, y = 5 e Z = 0
|| •••••• equivale a x = 0, y = 0 e z = 6
Dessa forma, permutando as 6 bolinhas e os 2 separadores 
(2 separadores para separar em 3 partes), temos a quanti-
62
dade de soluções naturais da equação dada:
P8
2, 6 = 8! ____ 
6!2!
 = 8 · 7 · 6! _______ 
6! · 2 · 1
 = 28 soluções naturais
6. No quadriculado a seguir, de quantas maneiras pode-
mos ir do ponto A até o ponto B, percorrendo a menor 
distância, considerando que podemos seguir apenas 
pelas linhas?
Resolução:
Para ir do ponto A até o ponto B percorrendo a menor 
distância possível, devemos, necessariamente, percorrer 3 
vezes pra cima e 4 vezes pra direita. Uma das possibilida-
des está demonstrada a seguir:
Podemos escrever esta possibilidade como: DCCDDCD 
(primeiro andamos uma unidade para direita, depois duas 
vezes para cima, duas para direita, uma para cima e, final-
mente, uma vez para direita).
Todas as outras possibilidades são permutações desta, po-
rém a letra C e D repetem 3 e 4 vezes, respectivamente, logo:
P 3,4 7 = 
7! ____ 
3! 4!
 = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4! ___________ 
3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 4!
 = 35
Portanto, temos 35 caminhos diferentes.
7. Considerando todos os números de 5 dígitos que pode-
mos formar com as permutações dos números 1, 2, 3 ,4 e 
5, se os ordenarmos em ordem crescente, qual é o número 
que ocupa a posição 61º?
Resolução:
Primeiramente, contamos todos os números que começam 
com o dígito 1:
1 _ _ _ _
Como há 4 dígitos restantes, existem 4! = 24 números que 
começam por 1. Analogamente, contamos os que come-
çam por 2:
2 _ _ _ _
Desta forma, existem mais 24 números. Portanto, até agora 
temos 48 números. Se contarmos todos que começam por 
3, teremos mais 24, totalizando 72, ultrapassando 60, por-
tanto contamos agora os que começam por 31:
3 1 _ _ _
Como existem 3 dígitos restantes, há 3! = 6 números que 
começam com 31, totalizando 48 + 6 = 54
Agora, os que começam por 32:
3 2 _ _ _
Teremos então mais 6, totalizando 60, portanto, o 60º nú-
mero é o maior número que começa com 32: 32541.
Logo, o 61º é o próximo, ou seja, o menor número que 
começa com 34: 34125.
As permutações caracterizam uma importante ferramenta na área da moda. Um estilista, ao promover sua coleção 
em um desfile de moda, utilizará limitados números de peças e sequências variadas de modelos. Logo, para que os 
looks não se repitam sequencialmente, o estilista permuta suas peças, obtendo, assim, uma variedade de modelos 
em sua coleção. Dessa forma, sem perceber, utilizamos conceitos da análise combinatória em tarefas simples, das 
mais diversas áreas de atuação.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
63
Modelo
(Enem) Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo 
dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. 
Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por 26 letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.
DISPONÍVEL EM: <WWW.INFOWESTER.COM>. ACESSO EM: 14 DEZ. 2012.
O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por:
a) 102 . 262.
b) 102 . 522.
c) 102. 522 . 4! __ 
2!
 .
d) 102 . 262 . 4! _____ 
2! . 2! .
e) 102 . 522 . 4! _____ 
2! . 2! .
Análise expositiva - Habilidade 2: Existem 10 · 10 = 102 maneiras de escolher dois algarismos e 52 · 52 = 522 
maneiras de escolher as letras. Definidos os caracteres da senha, podemos dispô-los de P4
(2, 2) = 4! ______ 2! . 2! modos. 
Portanto, pelo princípio multiplicativo, segue que a resposta é 102 · 522 · 4! ______ 2! . 2! .
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar um problema do cotidiano e utilizar seus conheci-
mentos sobre análise combinatória para a sua resolução.
Alternativa E
E
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
Habilidade
Dentro das competências da área 1 do Enem, a habilidade 2 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação 
proposta a partir de conhecimentos sobre análise combinatória.
Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.2
64
ANÁLISE 
COMBINATÓRIA
FATORIAL
PERMUTAÇÃO COM 
REPETIÇÃO
PERMUTAÇÃO 
SIMPLES
TROCA DE POSIÇÃO 
SEM A REPETIÇÃO 
DOS ELEMENTOS
PARA n NATURAL 
A PARTIR DO 2
TROCA DE POSIÇÃO 
COM A REPETIÇÃO 
DOS ELEMENTOS
n! = n · (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) · ... · (2) · (1)
ONDE:
: SÃO ELEMENTOS 
DE UM MESMO TIPO
: SÃO ELEMENTOS 
DE UM MESMO TIPO
: SÃO ELEMENTOS 
DE UM MESMO TIPO
COMUM EM PROBLEMAS 
DE ANAGRAMAS
Pn = n!
Pn
a,b,g= n!
a!b!g!
 DIAGRAMA DE IDEIAS
65
 ARRANJOS
COMPETÊNCIA: 1 HABILIDADES: 2 e 3
AULAS 
33 E 34
1. ARRANJOS
Vimos que permutação simples de n elementos é qualquer 
agrupamento ordenado desses n elementos. Agora, tendo n 
elementos, vamos estudar os agrupamentos ordenados de 
1 elemento, 2 elementos, 3 elementos, ..., de p elementos 
com p ≤ n.
Exemplos
1. Consideremos as letras a, b, c e d. Quais e quantos 
agrupamentos ordenados diferentes de 2 letras dis-
tintas é possível formar com elas?
Na primeira temos 4 possibilidades (pois temos 4 elementos dis-
poníveis). Na segunda posição, para cada uma das anteriores, 
temos 3 possibilidades (pois temos 3 elementos disponíveis).
Pelo princípio fundamental da contagem, há, no total, 
4 · 3 = 12 possibilidades.
Os 12 agrupamentos ordenados diferentes são:
ab ba ca da
ac bc cb db
ad bd cd dc
Esses agrupamentos são chamados de arranjos simples. 
Arranjamos 4 elementos, 2 a 2, e o número desses arranjos 
foi 12. Escrevemos, então:
A4,2 = 4 · 3 = 12 (arranjo de 4 elementos tomados 2 a 2 
é igual a 12)
2. Usando os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9, quantos números 
naturais de 3 algarismos distintos podemos formar?
centena dezena unidade
Há 5 possibilidades para o 1º algarismo, 4 para o 2º e 3 
para o 3º.
No total podemos então formar 5 · 4 · 3 = 60 números.
Dizemos, neste exemplo, que fizemos arranjos de 5 ele-
mentos tomados 3 a 3, e o número desses arranjos é 60.
Indicamos, assim: A5,3 = 5 · 4 · 3 = 60.
Vejamos como calcular o número total desses agrupamen-
tos de n elementos arranjados p a p, com n > p. Constru-
indo árvores de possibilidades, temos:
Na primeira posição: n possibilidades.
(POIS TEMOS N ELEMENTOS DISPONÍVEIS)
Na segunda posição (n – 1) possibilidades
(POIS TEMOS (N – 1) ELEMENTOS DISPONÍVEIS)
Na terceira posição: (n – 2) possibilidades
(POIS TEMOS (N – 2) ELEMENTOS DISPONÍVEIS)
A A
Na p-ésima posição: n – (p –1) possibilidades 
(POIS TEMOS N – (P – 1) ELEMENTOS DISPONÍVEIS)
Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos 
que o número total de possibilidades é dado por:
An,p = n(n – 1) (n – 2) ... [n – (p – 1)]
p fatores
66
Podemos ainda indicar An, p por meio de fatoriais. Observe:
An, p = n(n – 1)(n – 2) . ... . (n – p + 1)
Multiplicando esse número por 
(n – p)!
 _______ 
( n – p)!
 temos:
An, p = n(n – 1)(n – 2) . ... . (n – p + 1) · 
(n – p)!
 ______ 
(n – p)!
 =
= 
n(n – 1) (n – 2) ... (n – p + 1)(n – p)!
 ____________________________ 
(n – p)!
 = n! ______ 
(n – p)!
 
Portanto: 
An, p = 
n! ______ 
(n – p)!
 
Resumindo:
Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p ≤ 
n) são os agrupamentos ordenados distintos que se 
podem formar com p dos n elementos dados.
Indica-se por An, p ou A p n o total desses agrupamentos, 
que calculamos assim:
An, p = n(n – 1)(n – 2). ... . (n – p + 1)
ou
An, p = 
n! ______ 
(n – p)!
 
Exemplos
(10 – 4 + 1)
 A10, 4 = 10 · 9 · 8 · 7 = 5040 ou
A10, 4 = 
10! ___ 
6!
 = 10 · 9 · 8 · 7 · 6! _____________ 
6!
 = 5040
 A8, 2 = 8 · 7 ou A8,2 = 
8 · 7 · 6! _______ 
6!
 
Observação
Você pode usar o conceito de arranjo ou o princípio fun-
damental da contagem para resolver problemas como 
veremos nos exemplos de aplicação a seguir. Só compre-
endendo o que está sendo feito é que você saberá apli-
car a fórmula. Por isso, pouco adianta apenas decorá-la.
 Aplicação do conteúdo
1. Quantos números de dois algarismos diferentes po-
demos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 
e 9?
Resolução:
1ª maneira:
Usando a fórmula:
Procuramos agrupamentos de 2 elementos em que a ordem 
é importante, pois, por exemplo, 12 ≠ 21. Temos 9 elementos 
para serem arranjados 2 a 2. Assim, temos que calcular:
A9, 2 = 
9! ______ 
(9 – 2)!
 = 9! __ 
7!
 = 9 · 8 · 7! _______ 
7!
 = 72
Portanto, existem 72 números de dois algarismos diferen-
tes que podem ser escritos com os algarismos de 1 a 9.
2ª maneira:
Sem usar a fórmula:
Para o algarismo das dezenas temos 9 opções e, para o al-
garismo das unidades, apenas 8 opções, pois não podemos 
repetir algarismos. Assim temos 9 · 8 = 72 possibilidades. 
Portanto, são 72 números.
2. Responda às seguintes questões:
a) Quantos anagramas podemos formar com as letras 
da palavra CONTAGEM?
Os arranjos se propagam grandemente no nosso cotidiano. Na área da saúde, por exemplo, quando uma enfermeira 
recebe prescrições médicas de medicamentos, onde no pronto-socorro irá recombiná-los com vários outros genéricos, 
ela está aplicando arranjos no seu trabalho. Percebe-se que, através de um remédio, várias outras combinações serão 
criadas, causando efeitos diferentes nos pacientes.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
67
Resolução:
P8 = 8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40.320
b) Quantas “palavras” de 4 letras distintas podemos 
formar com as letras da palavra CONTAGEM?
Resolução:
1ª maneira:
Sem usar a fórmula:
Temos 8 possibilidades para a 1ª letra, 7 para a 2ª, 6 para 
a 3ª e 5 para a 4ª letra. Assim, temos:
8 · 7 · 6 · 5 = 1680
2ª maneira:
Usando a fórmula:
A8, 4 = 
8! __ 
4!
 = 8 · 7 · 6 · 5 = 1680
c) Quantas dessas “palavras” começam com E?
Resolução:
1ª maneira:
Sem usar a fórmula:
Fixando E como 1ª letra, restam 7 possibilidades para a 2ª 
letra, 6 para a 3ª e 5 para a 4ª letra. Assim, temos:
7 · 6 · 5 = 210
2ª maneira:
Usando a fórmula:
Fixando E como 1ª letra, temos que arranjar as 3 restantes 
das 7 que sobraram. 
Assim:
A7, 3 = 
7! __ 
4!
 = 7 · 6 · 5 = 210
d) Quantas terminam com TA?
Resolução:
1ª maneira: 
Sem usar a fórmula:
Fixando TA como 3ª e 4ª letras, restam 6 possibilidades 
para a 1ª letra e 5 para a 2ª. Assim, temos:
6 · 5 = 30 palavras
2ª maneira: 
Usando a fórmula:
Fixando as duas últimas como sendo TA, temos que arran-
jar as 2 iniciais das 6 que sobraram. Assim:
A6, 2 = 
6! __ 
4!
 = 6 · 5 = 30
e) Quantas contêm a letra M?
Resolução:
1ª maneira: 
Sem usar a fórmula:
Fixando M como 1ª letra, restam 7 possibilidades 
para a 2ª letra, 6 para a 3ª e 5 para a 4ª letra. Assim, 
temos 7 · 6 · 5 = 210 palavras com o M na 1ª posição. 
Da mesma forma, teremos 210 possibilidades para o 
M na 2ª posição, na 3ª posição e na 4ª posição. As-
sim, temos:
4 · 210 = 840 palavras
2ª maneira: 
Usando a fórmula:
Colocado o M temos 
A7, 3 = 
7! __ 
4!
 = 7 · 6 · 5 = 210 possibilidades para as outras letras. 
Como podemos colocar o M de quatro maneiras diferentes.
M __ __ __; ___ M ___ ___; ___ ___ 
M ___ e ___ ___ ___ M, temos:
4 · 210 = 840
f) Quantas não contêm a letra M?
Resolução:
1ª maneira: 
Sem usar a fórmula:Sem o M teremos 7 letras para compor a palavra:
7 possibilidades para a 1ª letra, 6 para a 2ª, 5 para a 3ª e 4 
para 4ª letra. Assim, temos:
7 · 6 · 5 · 4 = 840 palavras.
2ª maneira: 
Usando a fórmula:
Retirando o M, passamos a ter 7 letras. Como os anagra-
mas devem conter 4 letras, temos:
A7,4 = 
7! __ 
3!
 = 7 · 6 · 5 · 4 = 840
Observação
Também poderíamos ter feito 1680 – 840 para obter 
840, subtraindo o número de palavras obtido no item 
e do número total obtido em b.
3. De quantas maneiras 5 meninos podem sentar-se 
num banco que tem apenas 3 lugares?
68
Resolução:
1ª maneira: 
Usando a fórmula:
Estamos interessados nos agrupamentos ordenados de 3 
elementos, retirados de 5 elementos, ou seja:
A5, 3 = 
5! __ 
2!
 = 5 · 4 · 3 = 60
Portanto, há 60 maneiras possíveis.
2ª maneira:
Sem usar a fórmula:
5 meninos são possíveis para o 1º lugar do banco, 4 para 
o 2º e 3 para o 3º. Então, são 5 · 4 · 3 = 60 possibilidades.
2ª maneira:
Sem usar a fórmula:
Para o denominador temos 6 opções e, para o numerador, 
5 opções. Então, 6 · 5 = 30 frações.
5. Um estudante tem 5 lápis de cores diferentes. De 
quantas maneiras diferentes ele poderá pintar os esta-
dos da região Sul do Brasil, cada um de uma cor?
Resolução:
1ª maneira: 
Sem usar a fórmula:
São 3 estados: Rio Grande do Sul há 5 possibilidades, para 
o Paraná, 4 possibilidades e para Santa Catarina, 3 possi-
bilidades. Logo:
5 · 4 · 3 = 60 possibilidades.
2ª maneira:
Usando a fórmula:
Os estados do Sul do Brasil são 3: Paraná, Santa Catarina e 
Rio Grande do Sul. Logo, devemos calcular A5, 3.
A5, 3 = 
5! __ 
2!
 = 5 . 4 . 3 = 60
Portanto, há 60 maneiras diferentes de pintar os estados 
do Sul usando 5 cores.
6. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos númer-
os de 3 algarismos distintos maiores que 300 podemos 
formar?
Resolução:
1ª maneira: 
Sem usar a fórmula:
Para algarismos maiores do que 300 é necessário que o 
algarismo da centena seja 3, 4, 5 ou 6. Assim, temos 4 pos-
sibilidades para a centena. Para a dezena, 5 possibilidades, 
pois não podemos repetir a centena, e para a unidade 4 
possibilidades. Assim,
4 · 5 · 4 = 80 números.
2ª maneira: 
Usando a fórmula:
Temos as possibilidades:
 3 ___ ___
 4 ___ ___
 5 ___ ___
 6 ___ ___
Os Gênios do Oriente - 
Documentário dublado
FONTE: YOUTUBE
multimídia: vídeo
4. Quantas frações diferentes (e não iguais a 1) podem-
os escrever usando os números 2, 3, 5, 7, 11 e 13?
Resolução:
1ª maneira: 
Usando a fórmula:
Nesse caso, estamos procurando agrupamento de dois 
elementos, nos quais a ordem deles é relevante ( 2 __ 3 ≠ 3 __ 2 ) e 
quais um mesmo número não pode ser repetido na mesma 
fração ( 3 __ 3 = 1 ) .
Esses agrupamentos de 2 elementos devem ser formados 
com os 6 elementos: 2, 3, 5, 7, 11, e 13. Logo, temos:
A6, 2 = 
6! __ 
4!
 = 6 · 5 = 30
Portanto, podemos formar 30 frações nessas condições.
69
Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte 
forma: primeiro, foram sorteados quatro times para compor o grupo A. Em seguida, entre os times do grupo A, foram 
sorteados dois times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio 
campo e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o grupo A e a quantidade 
total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas por meio de:
a) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
b) um arranjo e uma combinação, respectivamente.
c) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
d) duas combinações.
e) dois arranjos.
Resolução:
Trata-se de arranjo ou combinação; caso a ordem de escolha importe, trata-se de arranjo; caso a ordem de escolha 
não importe, combinação. Observando o enunciado, temos que serão escolhidos quatro times dentre 12 times para 
definir o grupo A; como a ordem de escolha não importa, trata-se de uma combinação. Para o jogo de abertura, a 
ordem de escolha importa, ou seja, trata-se de um arranjo. Logo, a alternativa correta é A.
Alternativa A
VIVENCIANDO
Para preencher cada uma das lacunas temos A5, 2, possibili-
dades. Portanto, podemos formar:
4 . A5, 2 = 4 . 
5! __ 
3!
 = 4 . 5 . 4 = 80 números
7. Com os algarismos 3, 5, 7 e 9 foram formados todos os 
números naturais possíveis de 3 algarismos e colocados 
em ordem crescente. Qual a posição do número 739?
Resolução:
Temos as possibilidades:
3 __ __ A3,2 = 6
5 __ __ A3,2 = 6
 6 + 6 = 12
7 3 5 13º número
7 3 9 14º número
Portanto, 739 é o 14º número.
8. Com os dígitos 3, 4 e 5, quantos números naturais de 
algarismos distintos podemos formar?
Resolução:
 De 1 algarismo: 3
 De 2 algarismos: A3, 2 = 3 · 2 = 6
 De 3 algarismos: P3 = 6
Total 3 + 6 + 6 = 15 números.
multimídia: sites
pt.khanacademy.org/math/probability/
probability-geometry/counting-permuta-
tions/e/fundamental-counting-principle
70
Modelo
(Enem) Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de 
uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo 
site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco.
DISPONÍVEL EM: <WWW.GEBH.NET>. ACESSO EM: 30 OUT. 2013 (ADAPTADO).
O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por:
a) 9! __ 
2!
 
b) 9! _____ 
7! . 2!
 
c) 7!
d) 5! _____ 
2! . 4!
 e) 5! __ 
4!
 . 4! __ 
3!
 
Análise expositiva - Habilidade 2: O resultado pedido corresponde ao número de arranjos simples de 9 obje-
tos tomados 7 a 7, isto é, A9, 7 = 
9! __ 2! .
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar um problema do cotidiano e utilizar seus conheci-
mentos sobre análise combinatória para a sua resolução.
Alternativa A
A
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
Habilidade
Dentro das competências da área 1 do Enem, a habilidade 2 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação 
proposta a partir de conhecimentos sobre análise combinatória.
Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.2
71
ANÁLISE 
COMBINATÓRIA
ARRANJO
QUANDO A 
ORDEM IMPORTA
SEM REPETIÇÃOAn,p= n!(n-p)!
 DIAGRAMA DE IDEIAS
73
GEOMETRIA ESPACIAL: Incidência do tema nas 
principais provas
UFMG
A prova apresenta os temas deste livro com 
grau mediano e elevado. Semelhança de 
sólidos pode ser muito utilizado.
Pode apresentar questões na parte de Física 
e Química abordando volumes.
A prova exigirá conhecimento sobre volume 
e todas as figuras geométricas, por isso, é 
necessário conhecer o conceito de sólido de 
revolução.
A prova busca de seu candidato uma compre-
ensão do conteúdo aplicado. Questões sobre 
o conhecimento científico trarão a geometria 
espacial.
A prova apresenta a geometria espacial com 
incidência e grau medianos. O candidato deve 
saber fazer a correlação entre sólidos e seus 
volumes.
A prova sempre abordará a geometria 
espacial, e os temas abordados neste livro 
são de extrema importância para o candidato 
realizar seus problemas.
A prova apresentará questões de elevado grau 
de dificuldade. Associar todos os itens de geo-
metria plana para a espacial é fundamental.
O Enem tem alta incidência de questões sobre 
geometria espacial. O candidato deve esperar 
questões de todos os níveis.
Apresenta questões sobre volume de prismas 
e suas aplicações. Questões difíceis podem 
aparecer na primeira e/ou segunda fase.
A prova apresentará questões sobre geometria 
espacial no seu exame discursivo e de 
qualificação. O candidato deve se atentar à 
junção entre a geometria plana e espacial 
para realizar uma boa prova.
Diferente dos outros vestibulares, leva ao seu 
candidato uma prova muito objetiva. Os temas 
deste livro, na parte de geometria espacial, 
sempre ocorrem em questões muito bem 
elaboradas.
A prova possui baixaincidência de geometria 
espacial, porém, as questões são muito bem 
elaboradas.
A prova exigirá de seu candidato uma boa 
análise da geometria espacial com questões 
elevadas. Tronco de pirâmides é um bom tema 
a cair em sua prova, associado com temas de 
geometria plana.
A prova exige a parte da geometria espacial 
com elevado grau em suas questões. Associar 
um cilindro com as outras formas geométricas 
é fundamental.
A geometria espacial alinhada com a geome-
tria plana levará o candidato a ter um grande 
resultado. Questões do nosso cotidiano e que 
buscam uma visão tridimensional também 
podem aparecer na prova.
74
 VOLUME DE PRISMAS
COMPETÊNCIAS: 2 e 3 HABILIDADES: 6, 7, 8, 9 e 14
AULAS 
27 E 28
1. A IDEIA INTUITIVA DE VOLUME
Considere que se queira medir a quantidade de espaço 
ocupado por um sólido S. Para isso, é preciso comparar S 
com uma unidade de volume. O resultado dessa compa-
ração é um número que exprime quantas vezes o sólido S 
contém a unidade de volume. Esse número, assim obtido, 
é o volume de S.
Por exemplo, o volume do sólido S a seguir é de 12 unida-
des de volume, 12 U, ou seja:
Volume de S = 12 U
1.1. Cubo unitário
Será estabelecido como unidade de volume um cubo cuja 
aresta mede uma unidade de comprimento. Ele será deno-
minado cubo unitário.
Por definição, qualquer cubo cuja aresta meça 1 terá volu-
me igual a 1 unidade cúbica de comprimento.
1.2. Volume do paralelepípedo 
retângulo ou bloco retangular
O bloco retangular é um poliedro formado por 6 faces re-
tangulares. Ele é determinado por três medidas: o seu com-
primento (a), a sua largura (b) e a sua altura (c). O volume 
desse bloco retangular será indicado por V (a, b, c), e o 
volume do cubo unitário será indicado por V (1, 1, 1) = 1.
O volume do bloco retangular é proporcional a cada uma 
de suas dimensões, ou seja, se duas das dimensões forem 
mantidas constantes e a terceira dimensão for multiplicada 
por um número natural qualquer, o volume também será 
multiplicado pelo mesmo número natural. Isso pode ser 
observado no exemplo a seguir:
V(a, b, 3c) = V(a, 3b, c) = V(3a, b, c) = 3V(a, b, c)
Esse fato, constatado com um número natural, vale para 
qualquer número real positivo. Ou seja, mantidas constan-
tes duas dimensões do bloco retangular, seu volume será 
proporcional à terceira dimensão. Assim, tem-se:
V(a, b, c) = a . V(1, b, c) = ab . V(1, 1, c) 
= abc . V(1, 1, 1) = abc . 1 = abc
Portanto:
V(a, b, c) = abc
75
Assim, o volume de um paralelepípedo retângulo é dado 
pelo produto das suas dimensões.
Notas:
1. Como ab indica a área da base, e c indica a altura, é 
possível também indicar o volume do paralelepípedo 
retângulo assim:
V = Abh
Em que Ab = ab (área da base); h = c (altura correspondente).
Dessa forma, pode-se afirmar que o volume de um 
paralelepípedo retângulo é o produto da área da base 
pela altura.
2. Como o cubo é um caso particular de paralelepípe-
do retângulo, com todas as arestas de medidas iguais, 
seu volume é dado por:
V = a a a ou V = a3
3. Agora, pode-se provar o fato de figuras geométri-
cas semelhantes de razão k entre suas grandezas line-
ares terem volumes com razão k3. De fato, se V (x, y, z) 
é o volume de um sólido qualquer, e V (kx, ky, ky) é o 
volume do sólido semelhante, então:
v = (kx, ky, kz) = kV(x, ky, kz) 
= k2V(x, y, kz) = k3V(x, y, z) 
Ou seja:
V(kx, ky, ky) = k3 V(x, y, z)
1.3. Volume em litros
O litro é a unidade de medida de volume mais comum 
no cotidiano. Em geral, o litro é usado para medir o volu-
me de líquidos, embora ele possa ser utilizado para medir 
qualquer volume. Um litro é definido como o volume de 
um cubo de 1 decímetro de aresta (10 centímetros), ou 
seja, 1dm3.
Algumas relações importantes em relação ao litro:
1ℓ = 1dm3
1 000ℓ = 1m3
1mℓ = 1cm3
multimídia: sites
pt.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-
-volume-sa/volume-rect-prism/e/volume_1
 Aplicação do conteúdo
1. Calcule o volume de um paralelepípedo retângulo, 
cujas dimensões são: 3 cm; 2,8 cm, e 3 dXX 2 cm.
Dado: √
__
 2 1,41
Resolução:
Tem-se:
V = abc = 3 · 2,8 . 3 dXX 2 = 25,2 dXX 2 = 35,532 cm3
76
Assim, o volume é de aproximadamente 35,532 cm3.
2. Qual é o volume de concreto necessário para cons-
truir uma laje de 20 cm de espessura em uma sala de 
3 m por 4 m?
Resolução:
Área da base = Ab = 3 . 4 = 12 m
2
V = área da base . altura = Abh
= 12 m2 . 0,20 m = 2,40 m3
São necessários 2,40 m3 de concreto.
3. Determine, em cada item, as medidas das arestas dos 
cubos, cujos volumes são dados:
a) 125 dm3
Resolução:
V = 125 dm3 a3 = 125 a = 3 dXXXX 125 = 3 dXX 53 = 5 dm
b) 3 √
____
 3 cm3
Resolução:
V = 3 dXX 3 a3 = 3 dXX 3 a3 = √
__
 33 
a = 6 dXX 33 a = √
__
 3 cm
4. Sabendo que foram gastos 0,96 m2 de material para 
montar a caixa cúbica, cuja figura está a seguir, calcule 
o volume dessa caixa.
Resolução:
Nesse caso, tem-se que a área total do cubo é:
0,96 m2 = 96 dm2 = 9 600 cm2
Sabendo que At = 6a
2, tem-se:
9 600 = 6a2 a2 = 1 600 a = 40 cm
Como V = a3, tem-se:
V = (40 cm)3 = 64 000 cm3 = 64 dm3 = 0,064 m3
5. Na caixa cúbica da figura a seguir, a ripa transversal 
mede 8 dm. Qual é o volume da caixa?
Resolução:
Em primeiro lugar, deve-se estabelecer o modelo matemático:
Pela figura, é preciso determinar a aresta a, conhecendo a 
diagonal d de uma face:
d2 = a2 + a2 d = a dXX 2 
Como d = 8 dm, tem-se:
8 = a dXX 2 a = 8 
dXX 2 ____ 
2
 = 4 dXX 2 
É preciso calcular o volume:
V = a3 = (4 dXX 2 dm)3 = 43 dXX 23 dm3 = 128 dXX 2 dm3
O volume da caixa é 128 dXX 2 dm3.
2. PRINCÍPIO DE CAVALIERI
Considere três pilhas com o mesmo número de folhas de pa-
pel, arrumadas de formas diferentes, como indicam as figuras:
77
Observe que qualquer plano horizontal que seccione as 
três pilhas terá intersecções de mesma área (uma folha); 
perceba também que as pilhas possuem volumes iguais (só 
mudam as formas).
Essa situação serve para ilustrar o princípio de Cavalieri, 
que será analisado a seguir.
β S1
U
β S2U>
Considere os sólidos S1 e S2 apoiados em um plano hori-
zontal . Considere também o plano , paralelo a , que, 
ao seccionar S1, também secciona S2, determinando duas 
regiões planas de áreas A1 e A2.
Nessas condições, pode-se afirmar que, se para todo plano 
 tem-se A1 = A2, então:
Volume S1 = volume S2
É possível demonstrar o princípio de Cavalieri; no entanto, 
ele será considerado verdadeiro sem que seja feita sua de-
monstração. A seguir, será constatado que esse princípio 
simplifica muito o cálculo de volumes.
3. VOLUME DO PRISMA
O princípio de Cavalieri pode ser aplicado para se calcular 
o volume de um prisma qualquer.
Considere que, num prisma qualquer com a base contida 
num plano , se for paralelo a , a secção determinada 
por no prisma será sempre congruente à base, por isso 
essa secção e a base terão sempre áreas iguais.
Agora, é possível calcular o volume de um prisma qual-
quer utilizando o paralelepípedo retângulo como auxílio.
Considere um prisma S1, cuja área da base é Ab e a altura 
é h, e também um paralelepípedo retângulo S2, cuja área 
da base é Ab e a altura é h. O plano que contém as bases 
é horizontal. Qualquer plano horizontal que secciona os 
dois sólidos determina, no prisma S1, a secção S1, cuja 
área é igual a Ab, e, no paralelepípedo retângulo S2, deter-
mina a secção S2, cuja área é igual a Ab.
Como a área ( S1) = Ab e a área ( S2) = Ab, para 
qualquer plano horizontal , tem-se:
Área ( S1) = Área ( S2)
Pelo princípio de Cavalieri, pode-se concluir que:
volume do prisma = volume paralelepípedo retângulo.
Como o volume do paralelepípedo retângulo = área da 
base · altura, segue que:
Volume do prisma = área da base · altura
V = Abh
 Aplicação do conteúdo
1. Calcule o volume do prisma reto indicado na figura 
a seguir.
20 cm
15 cm
25 cm
12 cm
78
Resolução:
A base desse prisma é um triângulo do qual são conheci-
dos os três lados.
Pode-se obtera área usando a fórmula de Heron:
Ab = dXXXXXXXXXXXXXX 30 · 5 · 10 · 15 = dXXXXXX 22500 = 150 cm
2
A altura do prisma é de 12 cm. Seu volume é:
V = Abh = 150 . 12 = 1 800 cm
3
Assim, o volume do prisma é de 1.800 cm3.
2. Queremos encher de areia a caixa indicada na figura 
seguinte. Qual é o volume de areia que cabe nessa caixa?
Dados: dXX 3 = 1,7.
Resolução:
A área da base é a área de um hexágono regular cujo lado 
mede 11 cm.
Sabe-se que o hexágono regular é formado por 6 triângu-
los equiláteros e que a área de um triângulo equilátero de 
lado < é dada por l
2 dXX 3 ____ 
4
 .
Assim, a área da base é dada por:
Ab = 6 · 
112 √
__
 3 _____ 
4
 = 308,6 cm2
O volume do prisma é dado por V = Abh, sendo
Ab = 308,6 cm
2 e h = 35 cm.
V = 308,6 cm2 · 35 cm = 10 801 cm3 = 10,801 dm3.
O volume de areia que cabe nessa caixa é de aproximada-
mente 11 dm3.
3. Calcule o volume de uma porca de parafuso, cuja for-
ma e medidas estão na figura a seguir.
Resolução:
Indicando por:
V1: o volume do prisma maior
V2: o volume do prisma menor
V = V1 – V2: volume da porca
Calculando V1:
Ab1 = 6 · 
l2 dXX 3 ____ 
4
 = 6 · 8
2 dXX 3 ____ 
4
 = 163,2m2
V1 = Ab1 h = 163,2 mm
2 · 5 mm = 816 mm3
Calculando V2:
Ab2 = 6 . 
l2 dXX 3 ____ 
4
 = 6 · 6
2 dXX 3 ____ 
4
 = 91,8 mm3
Vb2 = Ab2 . h = 91,8 mm
2 · 5 mm = 459 mm3
V = V1 – V2 = 816 – 459 = 357 mm
3
O volume da porca de parafuso é 357 mm3.
4. A área total de um prisma hexagonal regular é 
(96 + 12 dXX 3 ) m2. A aresta da base do prisma mede 2 m. 
Calcule a altura e o volume do prisma.
Resolução:
Calculando a área da base, em que a = 2:
Ab = 6 · 
a2 dXX 3 ____ 
4
 = 6 · 4 
dXX 3 ____ 
4
 = 6 dXX 3 
Deve-se calcular a área lateral, sabendo que cada face é 
uma região retangular de dimensões 2 e h:
Al = 6 · 2h = 12 h
Como At = Al + 2Ab, tem-se:
96 + 12 dXX 3 = 12h + 12 dXX 3 12h = 96 h = 8
Calculando o volume do prisma:
V = Abh = 6 dXX 3 · 8 = 48 dXX 3 m
3
Assim, a altura mede 8 m e o volume é 48 dXX 3 m3.
5. Aumentando em 1 cm a aresta de um cubo, sua área late-
ral aumenta em 164 cm2. Qual é o volume do cubo original?
Seja a a aresta do cubo original e (a + 1) a aresta do novo cubo.
79
Resolução:
Pelos dados do problema, tem-se:
4(a + 1)2 = 4a2 + 164 
 4a2 + 8a + 4 - 4a2 = 164 8a = 160 a = 20 cm
O volume será:
V = a3 = (20 cm)3 = 8 000 cm3
O paliteiro e a barra de sabão são exemplos de objetos com forma prismática. As pessoas encontram muitos objetos 
tridimensionais diferentes todos os dias. Em geral, esses objetos passam despercebidos e poucos percebem que 
alguns deles são prismas. Da próxima vez que você olhar em volta, em casa ou na rua, talvez observe alguns prismas 
que nunca tenha considerado, como uma barra de chocolate Toblerone.
VIVENCIANDO
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
Habilidade
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a Habilidade 14 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação 
proposta com conhecimentos de geometria.
Modelo
(Enem) Uma empresa especializada em conservação de piscinas utiliza um produto para tratamento da água, cujas 
especificações técnicas sugerem que seja adicionado 1,5 mL desse produto para cada 1.000 L de água da piscina. Essa 
empresa foi contratada para cuidar de uma piscina de base retangular, de profundidade constante igual a 1,7 m, com 
largura e comprimento iguais a 3 m e 5 m, respectivamente. O nível da lâmina d’água dessa piscina é mantido a 50 cm 
da borda da piscina.
A quantidade desse produto, em mililitro, que deve ser adicionada a essa piscina de modo a atender às suas especifi-
cações técnicas é:
a) 11,25. b) 27,00. c) 28,80. d) 32,25. e) 49,50.
Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.14
80
Análise expositiva - Habilidade 14: O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar o problema utili-
zando cálculos de volume de sólidos geométricos (prismas, nesse caso) para a sua resolução.
De acordo com o enunciado, tem-se que o volume de água na piscina é igual a:
V = 5 . 3 . 1,2 = 15 . 1,2 = 18 m³ = 18 000 l
Assim, a quantidade de produto será: (18 000 . 1,5) / 1 000 = 27 ml
Alternativa B
B
V = a · b · c
V = a3
VOLUME DO 
PARALELEPÍPEDO
VOLUME DO 
CUBO
VOLUME DE PRISMAS
RELAÇÕES 
IMPORTANTES
a
b
c
a
a
a
V = Ab · h
ONDE:
Ab: ÁREA DA BASE
h: ALTURA
1 l = 1 dm3
1000 l = 1 m3
1 ml = 1 cm3
 DIAGRAMA DE IDEIAS
81
 PIRÂMIDES E TRONCOS DE PIRÂMIDES
COMPETÊNCIA: 2 HABILIDADES: 6, 7, 8 e 9
AULAS 
29 E 30
1. AS PIRÂMIDES
1.1. Construção e definição
Considere uma região poligonal, por exemplo, ABCDE, 
contida em um plano a e um ponto V exterior ao plano da 
região poligonal. Traçamos os segmentos VA, VB, VC, VD e 
VE. Cada dois vértices consecutivos de ABCDE determinam 
com V uma região triangular. Essas regiões triangulares, 
juntamente com a região poligonal ABCDE e vértice V, for-
mam uma pirâmide.
A região do espaço ocupada pela pirâmide é formada pe-
los pontos dos segmentos de reta que ligam o vértice V aos 
pontos da região poligonal (base).
A distância do vértice ao plano da base, que indicamos por 
h, é chamada altura da pirâmide.
Os segmentos VA, VB, VC, VD e VE são chamados de ares-
tas laterais, e as regiões triangulares VAB, VBC, VCD, VDE e 
VEA, de faces laterais da pirâmide.
Veja, a seguir, alguns exemplos de pirâmides:
 
A 1ª pirâmide, ABCDE, tem base quadrada (pirâmide qua-
drada), a região poligonal BCDE é sua base, AC é uma ares-
ta lateral, BC é uma aresta da base e a região triangular 
ACD é uma das faces laterais.
A 2ª pirâmide tem base pentagonal (pirâmide pentagonal) 
e a 3ª tem base triangular (tetraedro).
Observação
Se todas as arestas laterais são congruentes, a pirâmi-
de é reta, caso contrário, ela é oblíqua. Nos exemplos 
dados a 1ª e a 2ª são pirâmides retas e a 3ª é oblíqua.
1.2. Pirâmide regular
Pirâmide regular é uma pirâmide reta, cuja base é uma re-
gião poligonal limitada por um polígono regular.
Vamos considerar uma pirâmide, cuja base é uma região 
quadrada e com arestas laterais congruentes:
82
Polígono regular é o que tem todos os lados e todos 
os ângulos internos congruentes. Ele pode sempre ser 
inscrito numa circunferência, cujo centro é considera-
do também centro do polígono regular.
Essa pirâmide é regular, pois sua base é uma região poli-
gonal regular (quadrada) e suas arestas são congruentes 
(pirâmide reta).
Nesse caso, podemos ainda afirmar que:
 O segmento (PG) que liga o vértice ao centro da base é 
a altura da pirâmide;
 As faces laterais são regiões triangulares isósceles 
e congruentes;
 A altura de cada face lateral é conhecida por apótema 
da pirâmide regular (a).
Observação
Em toda pirâmide regular devemos destacar quatro 
importantes triângulos retângulos, nos quais apare-
cem: a aresta da base (ø), a aresta lateral (ø1), o raio 
da base (r), o apótema da pirâmide (a), o apótema da 
base (a1) e a altura da pirâmide (h).
Veja, em uma pirâmide regular pentagonal, a aplicação da 
relação de Pitágoras nesses triângulos:
 
 DOMA DVMA
r2 = a1
2 + ( ø __ 2 ) 
2
 ø1
2 = a2 + ( ø __ 2 ) 
2
 DVO DVOM
ø 2 1 = h2 + r2 a2 = h2 + a 2 1 
2. ÁREA DA SUPERFÍCIE 
DE UMA PIRÂMIDE
Do mesmo modo que foi visto nos prismas, nas pirâmides 
também temos:
 Superfície lateral: é formada pelas faces laterais 
(triangulares);
 Área lateral: é a área da superfície lateral;
 Superfície total: é formada pelas faces laterais e pela 
base;
 Área total: é a área da superfície total.
2.1. Caso particular importante: 
o tetraedro regular
Uma pirâmide particular formada por quatro regiões trian-
gulares congruentes e equiláteras é o tetraedro regular (te-
tra: quatro; edro: face).
Nele, qualquer uma das faces pode ser considerada base. O 
tetraedro regular é um caso particular de pirâmideregular.
 Aplicação do conteúdo
1. Uma pirâmide regular hexagonal tem 8 cm de altura 
e a aresta da sua base mede 3 dXX 3 cm. Calcule a área 
total. Adote √
__
 3 1,7 e 
__
84,24
______
 9,1.
Resolução:
Sabemos que:
Atotal = Abase + Alateral (At = Ab + Aø)
a1 = 
ø dXX 3 ____ 
2
 
Ab = 6 · 
ø2 dXX 3 ____ 
4
 
r = ø (pois o hexágono é com-
posto por triângulos equiláteros)
r2 = ø2 = a 2 1 + ( ø __ 2 ) 
2
a2 = h2 + a 2 1 
ø = 3 √
__
 3 
h = 8
83
 Cálculo de Ab (área da base):
Ab = 6 · 
(3 √
__
 3) 2 ∙ √
__
 3 
 _______ 
4
 = 6 · 9 · 3 √
__
 3 _________ 
4
 = 162 √
__
 3 ______ 
4
 = 68,85
 Cálculo de a1 (apótema da base):
a1 = 
3 √
__
 3 · √
__
 3 _______ 
2
 = 9 __ 
2
 
ou
(3 √
__
 3 )2 = a 2 1 + ( 3 √
__
 3 ____ 
2
 ) 
2
 a 2 1 = 27 – 
27 ___ 
4
 = 81 ___ 
4
 a1 = 
9 __ 
2
 
 Cálculo de a (apótema da pirâmide):
a2 = 82 + ( 9 __ 2 ) 
2
 = 64 + 81 ___ 
4
 = 337 ___ 
4
 = 84,25 
a = √
_____
 84,25 9,1
 Cálculo de A
ø
 (área lateral):
A
ø
 = 6 · 𝓵 . a __ 
2
 = 3 · 3 √
__
 3 · 9,1 > 139,23
 Cálculo de At (área total):
At = Ab + Aø = 68,85 +139,23 = 208,08 cm
2
3. VOLUME DA PIRÂMIDE
Observe a figura abaixo:
A pirâmide tem a base P contida no plano a e está sendo 
seccionada pelo plano horizontal p, paralelo a a. A sec-
ção da pirâmide pelo plano p é uma região poligonal p 
semelhante à base P. É interessante notar que a secção 
de uma pirâmide por um plano paralelo à base destaca 
uma pirâmide menor que é semelhante à original. A pirâ-
mide menor tem base p e altura x (distância do ponto V 
ao plano p), e a pirâmide original tem base P e altura h.
Se duas figuras geométricas são semelhantes, com razão k entre 
suas dimensões lineares, então suas áreas têm razão k2. No caso, 
k é a razão entre as alturas h e x das pirâmides semelhantes.
k = h __ x k
2 = ( h __ x ) 
2
Muitos artistas representam a nossa cidade, as pessoas, os prédios, a iluminação, o transporte, a natureza e todas as 
coisas que estão ao nosso redor. Um exemplo é Tarsila do Amaral, uma das artistas brasileiras de grande importância 
para a nossa cultura, pois suas obras são reconhecidas mundialmente. Com um estilo inconfundível, Tarsila explorava 
temas tropicais com muita cor e sensibilidade. Você acredita que podemos destacar a presença de sólidos geométri-
cos nas obras de Tarsila? Pois é! Observe a obra “Calmaria II” (1929).
VIVENCIANDO
84
Assim, se p e P são semelhantes, então:
 área de P _______ 
área de p
 = ( h __ x ) 
2
Regiões poligonais semelhantes têm ângulos con-
gruentes e segmentos correspondentes proporcionais. 
Se a __ 
b
 é a razão constante entre seus segmentos corres-
pondentes, então ( a __ b ) 
2
 é a razão entre suas áreas.
Vamos, agora, considerar duas pirâmides, cujas áreas das 
bases são iguais e têm a mesma altura. Vejamos o que 
acontece com as áreas das secções transversais situadas a 
uma mesma distância do vértice da pirâmide.
p1
p1
p2
p2
h
π
α
P1 P2
x
Já vimos que 
área de P1 ________ 
área de p1
 = ( h __ x ) 
2
 e 
área de P2 ________ 
área de p2
 = ( h __ x ) 
2
Daí, tiramos 
área de P1 ________ 
área de p1
 = 
área de P2 ________ 
área de p2
 
Como consideramos inicialmente que área de P1 = área de 
P2, concluímos que:
Área de p1 = área de p2 para qualquer plano horizontal p.
Então, pelo princípio de Cavalieri, temos que os volumes 
das pirâmides são iguais, ou seja:
Pirâmides com áreas das bases iguais e com mesma 
altura têm volumes iguais.
3.1. Cálculo do volume da 
pirâmide triangular
Vamos, agora, decompor um prisma triangular em três pi-
râmides, como indicam as figuras:
 
Observações
1. As pirâmides I e II têm bases congruentes e altu-
ras iguais. De fato, os triângulos ABC e DEF são con-
gruentes e a distância de D ao plano (ABC) é igual 
à distância de C ao plano (DEF) – altura do prisma 
original. Logo, I e II têm mesmo volume.
2. As pirâmides II e III também têm bases congruentes 
e alturas iguais. De fato, o triângulo CEF é congruente 
ao triângulo BCE, pois cada um deles é a metade do 
paralelogramo BCFE, pois cada uma dessas pirâmides 
é a distância de D ao plano (BCFE). Logo, II e III têm o 
mesmo volume. Assim, VI = VII e VII = VIII e, portanto, os 
três volumes são iguais.
“Introdução à história da matemática” é uma 
obra fascinante onde o autor narra a história 
da matemática desde a Antiguidade. Ideal 
para quem quer aprofundar e compreender 
os conceitos matemáticos e como surgiram.
Introdução à história da matemática
 – Howard Eves
multimídia: livros
85
Lembrando que Vprisma = VI + VII + VIII e fazendo 
VI = VII = VIII = V, temos que:
Vprisma = 3V V = 
Vprisma
 ____ 
3
 
Como Vprisma = área da base ∙ altura, temos:
V ou Vpirâmide triangular = 
área da base · altura ________________ 
3
 
Essa propriedade citada pode ser verificada experimen-
talmente. Se quiséssemos encher de água uma vasilha 
em forma de prisma usando um recipiente em forma 
de pirâmide, com mesma base e mesma altura, seria 
necessário usá-lo três vezes para encher a vasilha.
3.2. Cálculo do volume de 
uma pirâmide qualquer
Agora, para determinarmos o volume de uma pirâmide 
qualquer, usamos a conclusão anterior e o princípio de Ca-
valieri. Assim, dada uma pirâmide qualquer, consideramos 
uma pirâmide triangular que tenha a mesma área da base 
e a mesma altura que uma pirâmide qualquer.
O princípio de Cavalieri garante que duas pirâmides com 
áreas das bases iguais e com a mesma altura têm volumes 
iguais. Então:
Volume da pirâmide triangular = volume de uma pirâ-
mide qualquer (de mesma área da base e mesma altura)
Como o volume da pirâmide triangular é um terço da área 
da base multiplicada pela altura, temos a seguinte fórmula:
V = 
Abh ___ 
3
 
 Aplicação do conteúdo
1. A área da base de uma pirâmide é 36 cm2. Uma sec-
ção transversal feita a 3 cm da base tem 9 cm2 de área.
Calcule a altura da pirâmide.
Resolução:
Na figura, temos:
P1 = 36 cm
2
p1 = 9 cm
2
h – x = 3 cm x = h – 3
 
P1 __ p1
 = h
2
 __ 
x2
 36 ___ 
9
 = h
2
 ______ 
(h – 3)2
 4 = h
2
 ______ 
(h – 3)2
 
 2 = h ______ 
(h – 3)
 2h – 6 = h h = 6
A altura da pirâmide é 6 cm.
2. Calcule o volume de uma pirâmide quadrada, cuja 
aresta da base mede 4 cm e a altura, 7cm.
Resolução:
Ab = 4 cm · 4 cm = 16 cm
2
h = 7 cm
V = 
Abh ___ 
3
 = 16 cm
2 · 7 cm _________ 
3
 = 112 cm
3
 _______ 
3
 = 37,3 cm3
O volume da pirâmide é aproximadamente 37,3 cm3.
86
3. Qual é o volume de um tetraedro regular de aresta a?
Resolução:
Sabemos que, num tetraedro do regular (figura abaixo), as 
quatro faces são triângulos equiláteros.
Logo, a área da base é:
Ab = 
a2 √
__
 3 _____ 
4
 (área de um triângulo equilátero de lado a).
Calculamos, agora, a altura do tetraedro:
 O é o centro do triângulo equilátero ABC
 AD é mediana relativa do lado BC
 AO = 2 __ 
3
 AD
 AD é a altura do DABC relativa ao lado BC
 AD = a √
__
 3 ____ 
2
 
Das observações feitas, podemos tirar que:
AO = 2 __ 
3
 · a √
__
 3 ____ 
2
 = a √
__
 3 ____ 
3
 
Considerando o triângulo retângulo AOV ( 
 ̂ 
 O é reto), temos:
AV2 = AO2 + OV2 a2 = ( a √
__
 3 ____ 
3
 ) 2 + h2 
h2 = a2 – a
2
 __ 
3
 = 2a
2
 ___ 
3
 h = a √
__
 2 ____ 
 √
__
 3 
 = a √
__
 6 ____ 
3
 
Calculando o volume, temos:
V = 
Abh ___ 
3
 = 
 a
2 √
__
 3 ____ 
4
 · a √
__
 6 ____ 
3
 
 _________ 
3
 = 3a
3 √
__
 2 _____ 
36
 = a
3 √
__
 2 ____ 
12
 
Então, o volume do tetraedro regular vale a
3 √
__
 2 ____ 
12
 .
O tetraedro regular é tema bastante recorrente 
quando nos referimos a pirâmides. Os resulta-
dos obtidos neste último exemplo são impor-
tantes e podem ser utilizados sempre em exer-
cícios relacionados a tetraedrosregulares:
 Altura do tetraedro regular: 
h = a √
__
 6 ____ 
3
 
 Área total do tetraedro regular: 
4 . a
2 √
__
 3 _____ 
4 
 = a2 √
__
 3 
 Volume do tetraedro regular: 
 a
3 √
__
 2 _____ 
12
 
4. Quando duas pirâmides regulares de bases quadra-
das e cujas faces laterais são triângulos equiláteros são 
colocadas base a base, o sólido resultante (figura abai-
xo) é chamado octaedro regular. Calcule o volume do 
octaedro regular de aresta 5 cm.
Resolução:
Vamos calcular a altura de cada pirâmide:
 AC = diagonal do quadrado = 5 √
__
 2 
 VO = altura da pirâmide (h)
 OC = metade da diagonal do quadrado = 5 √
__
 2 ____ 
2
 
No triângulo retângulo VOC ( 
 ̂ 
 O é reto), temos:
52 = h2 + ( 5 √
__
 2 ____ 
2
 ) 2 h2 = 25 – 50 ___ 4 = 50 ___ 4 h = 5 √
__
 2 ____ 
2
 cm
Vamos calcular o volume:
Ab = 5 · 5 = 25 cm
2
V = 
Abh ___ 
3
 = 
 25 · 5 √
__
 2 _______ 
2
 
 _______ 
3
 = 125 · 1,4 _______ 
6
 = 29,1 cm3
Como são duas pirâmides, temos:
VT > 2 · 29,1 = 58,2 cm
3
Portanto, o volume do octaedro regular é de aproximada-
mente 58,2 cm3.
87
4. TRONCO DE PIRÂMIDE
Vamos considerar uma pirâmide de vértice V e altura h. 
Traçando um plano p paralelo à base, que secciona a pirâ-
mide a uma distância d do vértice, obtemos dois poliedros: 
uma pirâmide de vértice V e altura d e um poliedro que é 
chamado tronco da pirâmide inicial.
No tronco da pirâmide, destacamos:
 Duas bases: a base da pirâmide inicial (base maior do tron-
co) e a secção determinada por p (base menor do tronco);
 As faces laterais, que são regiões limitadas por trapézios;
 A distância entre as bases do tronco, chama-se altura 
do troco; sua medida é expressa por h1 = h – d.
Quando a pirâmide original é regular, o tronco de pirâmide 
é chamado de regular e, nesse caso:
 as bases são regiões poligonais regulares e semelhantes;
 as faces laterais são regiões limitadas por trapézios 
isósceles;
 a altura de um desses trapézios é chamada de apóte-
ma do tronco.
ø1 = aresta da base maior do tronco
ø2 = aresta da base menor do tronco
a = aresta lateral do tronco
h2 = apótema do tronco (ou altura da face lateral)
4.1. Volume do tronco de pirâmide
Consideremos o tronco de pirâmides representado pela 
figura abaixo.
AB = área da base maior
Ab = área da base menor
h = altura da pirâmide VABCD
d = altura da pirâmide VA’B’C’D’
h1 = altura do tronco
V = volume do tronco
Pela figura anterior, podemos observar que o volume do 
tronco = volume da pirâmide VABCD – volume da pirâmi-
de VA’B’C’D’
Volume da pirâmide VABCD = 1 __ 
3
 ABh
Volume da pirâmide VAB’C’D’ = 1 __ 
3
 Abd = 
1 __ 
3
 Ab(h – h1)
Então:
V = 1 __ 
3
 ABh – 
1 __ 
3
 Ab (h – h1) = 
1 __ 
3
 [ABh – Abh + Abh1] =
= 1 __ 
3
 [(AB – Ab)h + Ab h1]
Calculando h em função de AB, Ab e h1 do tronco da pirâmi-
de, substituindo na igualdade acima e simplicando, obtemos:
V = 
 h1 ___ 
3
 (AB + √
____
 ABAb + Ab)
Assim, você pode calcular o volume do tronco por meio 
da subtração dos volumes das pirâmides semelhantes (a 
original e a menor) ou aplicando a fórmula acima.
88
 Aplicação do conteúdo
1. Um tronco de pirâmide tem como bases duas regiões 
quadradas de lados 5 cm e 12 cm. A altura do tronco é 
8 cm. Calcule o volume desse tronco.
Resolução:
1º maneira: usando a fórmula
AB = 12 cm · 12 cm = 144 cm
2
Ab = 5 cm · 5 cm = 25 cm
2
h1 = 8 cm
V = 
h1 __ 
3
 (AB + √
____
 ABAb + Ab) = 
8 __ 
3
 (144 + 60 + 25) 
V = 8 __ 
3
 · 229 = 1832 ____ 
3
 = 610,6 cm3
O volume do tronco é de 610,6 cm3, aproximada-
mente.
2º maneira: sem usar a fórmula
A partir do tronco, consideremos as pirâmides origi-
nal e miniatura, com suas alturas h e x. Temos que 
h = x + 8 e que a razão de semelhança entre as duas pirâ-
mides semelhantes é:
k = 5 ___ 
12
 = x __ 
h
 5h = 12x 5(x + 8) = 12x 
 x = 40 ___ 
7
 cm e h = 96 ___ 
7
 cm
O volume da pirâmide original é V1 = 
1 __ 
3
 · 122 · 96 ___ 
7
 = 4608 ____ 
7
 cm2.
Volume da pirâmide menor é V2 = 
1 __ 
3
 · 52 · 40 ___ 
7
 = 1000 ____ 
21
 cm2.
Então, o volume do tronco é:
VT = V1 – V2 VT = 
4608 ____ 
7
 – 1000 ____ 
21
 = 1832 ____ 
3
 = 610, 6 cm3
2. Um obelisco de granito tem a forma de um tronco de 
pirâmide de base triangular regular. Os lados das bases 
têm 3m e 1m. A altura do obelisco é de 15m. Calcule o 
volume de granito usado para a construção do obelisco.
Resolução:
1º maneira: usando a fórmula
Sendo 3m o lado da base maior, temos:
AB = 
32 √
__
 3 ____ 
4
 = 9 √
__
 3 ____ 
4
 m2
Sendo 1m o lado da base menor, temos:
Ab = 
12 √
__
 3 ____ 
4
 = √
__
 3 ___ 
4
 m2
Sendo h = 15m, temos:
V = 
h1 __ 
3
 ( AB + √
____
 ABAb + Ab ) = 
= 15 ___ 
3
 ( 9 √
__
 3 ____ 
4
 + √
___
 27 ___ 
16
 + √
__
 3 ___ 
4
 ) = 
= 5 ( 9 √
__
 3 ____ 
4
 + 3 √
__
 3 ____ 
4
 + √
__
 3 ___ 
4
 ) = 
= 5 · 13 √
__
 3 _____ 
4
 = 65 · 1,7 ______ 
4
 = 27,6m3
O volume de granito usado é 27,6 m3, aproximadamente.
2º maneira: sem usar a fórmula
1
89
A partir do tronco, consideremos as pirâmides original e 
menor, com suas alturas h e x. Temos que h = x + 15 
e que a razão de semelhança entre as duas pirâmides 
semelhantes é:
k = 1 __ 
3
 = x __ 
h
 h = 3x x + 15 = 3x 
x = 15 ___ 
2
 = 7,5m e h = 45 ___ 
2
 = 22,5 m
O volume da pirâmide original é:
V1 = 
1 __ 
3
 · 3
2 √
__
 3 _____ 
4
 · 45 ___ 
2
 = 135 √
__
 3 ______ 
8
 m3
O volume da pirâmide menor é:
V2 = 
1 __ 
3
 · 1
2 √
__
 3 _____ 
4
 · 15 ___ 
2
 = 5 √
__
 3 ____ 
8
 m3
Então, o volume do granito é:
Vt = V1 – V2 Vt = 
135 √
__
 3 ______ 
8
 – 5 √
__
 3 ____ 
8
 = 65 √
__
 3 _____ 
4
 = 27,6m3
3. As bases de um tronco de pirâmide regular são regiões 
quadradas de lados 8m e 2m, respectivamente. A aresta 
lateral do tronco mede 5m. Calcule o volume do tronco.
Resolução:
1ª maneira: usando a fórmula
A face lateral desse tronco de pirâmide determina um tra-
pézio isósceles, conforme nos mostra a figura abaixo.
Pela figura, temos:
52 = a’2 + 32 a’2 = 16 a’ = 4 m
Vamos calcular a altura do tronco:
Pela figura, temos:
42 = 32 + h2 h2 = 7 h = √
__
 7 m
Vamos calcular o volume do tronco no qual temos:
AB = 64 m
2, Ab = 4 m
2, h = √
__
 7 m
V = h __ 
3
 ( AB + √
____
 ABAb + Ab ) = √
__
 7 ___ 
3
 ( 64 + √
_____
 64 ∙4 + 4 ) 
V = √
__
 7 ___ 
3
 (64 +16 + 4) = 84 √
__
 7 _____ 
3
 = 28 √
__
 7 m3
Logo, o volume do tronco é 28 √
__
 7 m3.
2ª maneira: sem usar a fórmula
Mesmo procedimento até obter h = √
__
 7 ; depois, a partir 
do tronco, consideremos as pirâmides original e miniatura, 
com suas alturas h e x.
Temos que h = x + √
__
 7 e que a razão de semelhança entre 
as duas pirâmides semelhantes é:
k = 2 __ 
8
 = x __ 
h
 2h = 8x x + √
__
 7 = 4x x = √
__
 7 ___ 
3
 
Não calcularemos h.
90
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
Habilidade
Dentro do segundo eixo-cognitivo do Enem, a habilidade 8 exige do aluno a capacidade de resolver situações-pro-
blemas, que envolvam conhecimento geométricos de espaço e fórmula.
Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.8
O volume da pirâmide menor é:
 1 __ 
3
 · 22 · √
__
 7 ___ 
3
 = 4 √
__
 7 ____ 
9
 m3
A razão entre os volumes da pirâmide menor e da original 
é k3 = ( 2 __ 8 ) 
3
 = 1 ___ 
64
 . Assim:
Quando falamos em pirâmides, surgem com frequência à nossa mente as belíssimas imagens das antigas pirâmides 
do Egito, cuja construção é um exemplo da contribuição da geometria espacial para as áreas da engenharia e da 
arquitetura. A matemática envolvida nessas construções é realmente impressionante.A grande pirâmide de Quéops 
é a maior e mais bem elaborada que existe, com 146 metros de altura, uma base quadrada com 230 metros de lado 
e peso de aproximadamente 6,5 milhões de toneladas.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
 
Vmini ___ 
Vorig
 = 1 ___ 
64
 Vorig = Vmini · 64 = 
256 √
__
 7 ______ 
9
 m3
Então, o volume do tronco é:
 256 √
__
 7 ______ 
9
 – 4 √
__
 7 ____ 
9
 = 28 √
__
 7 m3
91
Modelo
(Enem) É comum os artistas plásticos se apropriarem de entes matemáticos para produzirem, por exemplo, formas 
e imagens por meio de manipulações. Um artista plástico, em uma de suas obras, pretende retratar os diversos 
polígonos obtidos pelas intersecções de um plano com uma pirâmide regular de base quadrada.
Segundo a classificação dos polígonos, quais deles são possíveis de serem obtidos pelo artista plástico?
a) Quadrados, apenas.
b) Triângulos e quadrados, apenas.
c) Triângulos, quadrados e trapézios, apenas.
d) Triângulos, quadrados, trapézios e quadriláteros irregulares, apenas.
e) Triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irregulares e pentágonos, apenas.
Análise expositiva - Habilidade 8: Nessa questão, é necessário que o aluno saiba identificar os diferentes 
tipo de figuras planas e sólidos geométricos além de conhecer as características e propriedades.
Supondo que quadriláteros irregulares e trapézios sejam polígonos distintos, tem-se que as possibilidades são: 
triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irregulares e pentágonos, conforme as figuras abaixo. 
Alternativa E
E
92
PIRÂMIDES
ELEMENTOS
ÁREA DA SUPERFÍCIE
ÁREA DA SUPERFÍCIE
TRONCO DA PIRÂMIDE
CLASSIFICAÇÃO
PIRÂMIDE REGULAR
VT = Vm - Vm
PODEMOS UTILIZAR 
SEMELHANÇA PARA 
CALCULAR OS VOLUMES
ÁREA LATERAL (AL)
SOMA DAS ÁREAS 
DAS FACES LATERAIS 
(TRIÂNGULOS)
ÁREA DA BASE (AB)
ÁREA DO POLÍGONO
FORMADA DA BASE
ÁREA TOTAL (AT)
AT = AL + AB
SE TODAS AS LATERAIS SÃO 
CONGRUENTES, A PIRÂMIDE É RETA; 
CASO CONTRÁRIO, ELA É OBLÍQUA
FORMADA POR UMA REGIÃO 
POLIGONAL REGULAR E SUAS 
ARESTAS SÃO CONGRUENTES
AM = ÁREA DA BASE MAIOR
Am = ÁREA DA BASE MENOR
d = ALTURA DA PIRÂMIDE MENOR
h = ALTURA DA PIRÂMIDE MAIOR
h1 = ALTURA DO TRONCO
VT = VOLUME DO TRONCO
VM = VOLUME DA PIRÂMIDE MAIOR
Vm = VOLUME DA PIRÂMIDE MENOR
ap
2 = ab
2 + h2
RELAÇÃO ENTRE AS AS APÓTEMAS 
DA BASE E DA PIRÂMIDE
h
ab
VÉRTICE 
FACE 
LATERAL
ARESTA 
LATERAL
h ap
ab
BASE
h: ALTURA
ap: APÓTEMA 
DA PIRÂMIDE
ab: APÓTEMA 
DA BASE
=
2d Am
h AM
=
3d Vm
h VM
A =
ab · h
3
AM
h1
h
d
Am
 DIAGRAMA DE IDEIAS
93
 CILINDROS
COMPETÊNCIAS: 2 e 3 HABILIDADES: 6, 7, 8, 9 e 14
AULAS 
31 E 32
Considere dois planos a e b, distintos e paralelos, e um 
segmento de reta MN com M pertencente a e N perten-
cente a b. Dado um círculo C de centro O e raio r, contido 
em a, chamamos cilindro circular (ou simplesmente ci-
lindro) a reunião de todos os segmentos de reta, paralelos 
e congruentes ao segmento MN, que unem um ponto do 
círculo C a um ponto de b. No caso de MN ser perpendicu-
lar a , o cilindro é reto.
Podemos, intuitivamente, imaginar um cilindro como o con-
junto de pontos gerado por uma translação de um círculo.
A superfície do cilindro é formada por duas partes planas, 
que são as bases, e uma parte curva, “arredondada”, que 
é a superfície lateral.
 
CILINDRO RETO 
 
CILINDRO RETO PLANIFICADO
A altura do cilindro é a distância entre os planos das bases.
A reta que passa pelos centros das bases de um cilindro é 
chamada eixo do cilindro.
NO CILINDRO RETO O EIXO É PERPENDICULAR AOS PLANOS DAS BASES.
Os segmentos paralelos ao eixo, cujas extremidades são 
pontos das circunferências das bases, são chamados gera-
trizes do cilindro.
94
Um cilindro reto pode ser obtido girando-se uma região 
retangular em torno de uma reta que contém um de seus 
lados. Por isso, o cilindro circular reto pode ser chamado 
também de cilindro de revolução, uma vez que é o sólido 
gerado quando uma região retangular faz um giro com-
pleto em torno do eixo determinado por um de seus lados.
1. SECÇÕES DE UM CILINDRO
1.1. Secção transversal
É a intersecção do cilindro com um plano paralelo às suas bases.
A secção transversal é um círculo congruente às bases.
1.2. Secção meridiana
É a intersecção do cilindro com um plano que contém o 
seu eixo.
A secção meridiana de um cilindro reto é um retângulo
Em particular, se a secção meridiana for um quadrado, di-
zemos que o cilindro é equilátero.
Nesse caso, h = 2R
cilindro equilátero
O formato cilíndrico possui várias aplicações no cotidiano: peças de carros, compartimentos de produtos gasosos e 
líquidos, máquinas industriais, embalagens de produtos para consumo etc.
VIVENCIANDO
95
2. ÁREA DA SUPERFÍCIE 
DE UM CILINDRO RETO
PLANIFICADO
MONTADO
A superfície total do cilindro é formada pela superfície late-
ral mais as superfícies das duas bases.
Assim:
Área lateral = A
ø
 = (2pr)h = 2prh A
ø
= 2prh
Área das bases = 2Ab = 2pr
2
Área total = At = Aø + 2Ab = 2prh + 2pr = 2pr
2(h + r) 
At = 2pr(h + r)
 Aplicação do conteúdo
1. Quantos centímetros quadrados de material são usa-
dos, aproximadamente, para fabricar a lata de óleo in-
dicada ao lado?
Resolução:
Diâmetro = 8 cm; r = 4 cm; h = 19 cm
Logo, considerando p = 3,14, temos:
A
ø
 = 2prh = 2 · 3,14 · 4 · 19 = 477,28 cm2
2Ab = 2pr
2 = 2 · 3,14 · 42 = 100,48 cm2
At = 477,28 + 100,48 = 577,76 cm
2
São necessários, aproximadamente, 577,76 cm2 de material.
Podemos resolver esse exercício em função de p. Veja:
Aℓ = 2prh = 2p · 4 · 19 = 152p cm
2
2Ab = 2pr
2 = 2p · 42 = 32p cm2
At = 152p + 32p = 184p cm
2
2. Qual deve ser a altura de um tubo, de forma cilíndrica, 
se a sua superfície total pode ser coberta com 43,7088 
cm2 de plástico e o diâmetro de cada base tem 8 mm?
(Use p = 3,14)
Resolução:
O diâmetro da base é 8 mm = 0,8 cm. Logo, r = 0,4 cm,
2Ab = 2pr
2 = 2 · 3,14 . 0,42 = 1,0048
Aℓ = 2prh = 2 · 3,14 · 0,4x = 2,512x
At = 2Ab + Aø = 43,7088 
 1,0048 + 2,512x = 43,7088 
 2,512x = 42,704 x = 17 cm
Portanto, a altura do tubo deve ser de 17 cm.
Volume e área da superfície de cilindros
FONTE: YOUTUBE
multimídia: vídeo
96
3. VOLUME DO CILINDRO
Vamos novamente usar o princípio de Cavalieri, agora para 
determinar o volume do cilindro.
Dado um cilindro com a base contida em um plano a, va-
mos considerar um paralelepípedo retângulo, também com 
a base contida em a, que tem a área da base igual à da 
base do cilindro e altura igual à do cilindro.
Cada plano b, paralelo a a, que secciona um dos sólidos 
também secciona o outro, e as secções determinadas por b 
em cada um deles têm a mesma área de suas bases.
Como área (b ù C) = AB e área (b ù P) = AB, temos:
Área (b ù C) = área (b ù P)
para qualquer plano horizontal b. Pelo princípio de Cava-
lieri, concluímos que:
volume do cilindro = volume do paralelepípedo retângulo 
Como volume do paralelepípedo retângulo = área da base 
. altura, segue que:
volume do cilindro = área da base . altura
Sendo a base do cilindro um círculo de raio r e área pr2, temos:
VOLUME DO CILINDRO = V = pR2H
 Aplicação do conteúdo
1. Um cilindro circular reto tem 10 cm de altura e sua 
base tem 12 cm de diâmetro. Calcule a área lateral, a 
área total e o volume do cilindro.
Resolução:
Se o diâmetro é igual a 12 cm, então r = 6 cm.
Área da base = Ab = pr
2 = p · 62 = 36p cm2
Área lateral = A
ø
 = 2prh = 2p · 6 · 10 =120 cm2
Área total = At = Aø + 2Ab = 120p + 2(36p) = 192p cm
2
Volume = V = Abh = pr
2h = p · 62 · 10 = 360p cm3
Portanto, a área lateral é 120p cm2, a área total é 192p cm2 
e o volume é 360p cm3.
2. A figura abaixo mostra um cilindro inscrito num cubo.
O volume do cilindro é 64p cm3. Calcule o volume do cubo.
Fundamentos da matemática elementar, é 
uma coleção perfeita para quem procura 
aprofundar seus conhecimentos. No final de 
cada volume, o livro apresenta a seção Testes 
de vestibulares, que são exercícios seleciona-
dos e organizados em ordem de dificuldade, 
com seus respectivosgabaritos.
Fundamentos de Matemática Elementar – 
Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo
multimídia: livros
97
Resolução:
Como a altura do cilindro é igual ao seu diâmetro, temos:
V = pr2h 64p = pr2 · 2r 2r3 = 64 
r3 = 32 r = 2 3 dXX 4 cm
Como a aresta do cubo é igual ao diâmetro do cilindro, temos:
a = 2r = 4 3 dXX 4 cm
Vamos, então, calcular o volume do cubo:
V = a3 = (4 3 dXX 4 )3 = 256 cm3
Portanto, o volume do cubo é 256 cm3:
3. Qual é capacidade de uma lata de molho de tomate 
que tem a forma cilíndrica, com 7,5 cm de diâmetro e 
11 cm de altura?
REALIDADE
MODELO MATEMÁTICO
CILINDRO
Resolução:
Se o diâmetro é de 7,5 cm, então r = 3,75 cm.
h = 11 cm
V = pr2h = p · 3,752 · 11 = 154,7p cm3
Considerando p = 3,14 e sabendo que 1 dm3 = 1ℓ e 
1 cm3 = 1 mℓ, temos:
V = 154,7 · 3,14 = 485,76 mℓ
Logo, a capacidade da lata é de, aproximadamente, 485,76 mℓ.
Essencial para a vida de qualquer ser humano, o oxigênio é de suma importância para a medicina, em todos os seus ní-
veis, desde primeiros-socorros até as cirurgias mais complexas, e é utilizado nos mais diversos ambientes de saúde, como 
hospitais, clínicas e, hoje em dia, até na própria casa dos pacientes. Problemas respiratórios impedem que os pulmões 
desempenhem o seu papel com eficiência. Um ar rico em oxigênio permite uma melhor respiração, e auxilia no trata-
mento de diversas doenças pulmonares. Você já reparou aonde o oxigênio é armazenado? Isso mesmo, em cilindros.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
98
Modelo
(Enem) Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos, no 
formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio e o transporte 
dos grãos é feito em caminhões de carga, cuja capacidade é de 20 m³. Uma região possui um silo cheio e apenas um 
caminhão para transportar os grãos para a usina de beneficiamento.
Utilize 3 como aproximação para π.
O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados 
no silo é:
a) 6.
b) 16.
c) 17.
d) 18.
e) 21.
Análise expositiva - Habilidade 14: O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar o problema 
utilizando cálculos de volume de sólidos geométricos, nesse caso prismas, para a sua resolução
Temos que o volume de um cilindro é dado por πr²H e o volume de um cone é dado por πr²H _____ 3 .
Assim, o volume de um silo é igual a π∙3²∙12 + 1 __ 3 ∙3²∙3∙π = 351 m³, utilizando π = 3 .
O número de viagens que o caminhão deve fazer é 351 ____ 20 = 17,55 , ou seja, para levar todo o volume o 
caminhão deve fazer, no mínimo, 18 viagens.
Alternativa D
D
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
Habilidade
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a Habilidade 14 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação 
proposta com conhecimentos de geometria.
Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.14
99
r RAIO DA BASE
h ALTURA
SÓLIDO DE REVOLUÇÃO
ELEMENTOS
ÁREA DA 
SUPERFÍCIE
VOLUME
CILINDRO
r
h
BASE
BASE
SUPERFÍCIE
LATERAL
AT = 2 πr (h + r)
V = πr2h
V = A · h
ÁREA LATERAL
AL = 2 πrh
(AL)
ÁREA DAS BASES
AB = 2 πr
2
(AB)
ÁREA TOTAL
AT = AB + AL
(AT)
 DIAGRAMA DE IDEIAS
100
 CONES E TRONCOS DE CONE RETO
COMPETÊNCIA: 2 HABILIDADES: 6, 7, 8 e 9
AULAS 
33 E 34
1. O CONE
Vamos considerar um plano a, uma região circular R nesse 
plano e um ponto P não pertencente a a.
A reunião de todos os segmentos que ligam cada ponto de 
R ao ponto P é um sólido chamado cone circular.
A superfície do cone é formada por uma parte plana, a 
região circular, que é a sua base, e uma parte curva, “arre-
dondada”, que é a sua superfície lateral.
O eixo do cone é o segmento de reta que liga o vértice ao 
centro da base.
Se o eixo é perpendicular à base, o cone denomina-se cone reto.
Se o eixo é oblíquo à base, o cone é chamado cone oblíquo.
A altura h do cone é o segmento de reta perpendicular 
traçado do vértice ao plano da base. No caso do cone reto, 
a medida do eixo coincide com a da altura h.
No cone reto, cada segmento que liga o vértice a um ponto 
da circunferência da base é chamado geratriz do cone.
Um cone reto pode ser obtido gerando-se uma região 
triangular, cujo contorno é um triângulo retângulo em tor-
no de uma reta que contém um dos catetos.
Por esse motivo, o cone reto é considerado um sólido ou 
corpo de revolução e é chamado cone de revolução.
101
 Aplicação do conteúdo
1. Um cone possui altura de 8 cm e diâmetro da base de 
12 cm. Calcule o comprimento de sua geratriz.
g
8 cm
6 cm
Resolução:
Como o diâmetro da base mede 12 cm, temos que o raio 
da base mede 6 cm. Temos, então, um triângulo retângulo 
de catetos 6 cm e 8 cm. Aplicando o teorema de Pitágoras, 
podemos encontrar a geratriz g:
g² = 8² + 6² g = 10 cm
2. SECÇÕES DO CONE
2.1. Secção transversal
A secção transversal é a intersecção do cone com um plano 
paralelo à sua base.
A secção transversal do cone é um círculo.
2.2. Secção meridiana
A secção meridiana é a intersecção do cone com um plano 
que contém o seu eixo.
A secção meridiana de um cone reto é um triângulo isós-
celes.
Em particular, se a secção meridiana for um triângulo equi-
látero, diremos que o cone é equilátero. Nesse caso, g = 2r 
e h = r dXX 3 .
3. ÁREA DA SUPERFÍCIE 
DE UM CONE RETO
MONTADO PLANIFICADO
A superfície total do cone reto é formada pela superfície 
lateral (um setor circular) mais a superfície da base (um 
círculo), isto é, At = Aø + Ab.
Inicialmente, calculamos a área do setor (A
ø
).
A área de um setor circular é proporcional à área do círculo 
correspondente, de forma que:
 
Asetor ____ 
pR2
 = 
agraus ____ 
360º
 = 
arad ___ 
2p
 = ø ____ 
2pR
 
Assim, podemos calcular a área do setor como Asetor = 
ø ____ 
2pR
 · pR2.
102
No caso do cone, temos ø = 2pr e R = g. Logo:
A
ø
 = 2pr ____ 
2pg
 · pg2 = prg
A área da base é a área do círculo de raio r: Ab = pr
2.
Logo, a área total do cone reto é:
At = prg + pr
2 = pr(g + r).
Resumindo, para um cone reto de geratriz g e raio da base 
r, temos:
A
ø
 = prg Ab = pr
2 At = pr(g + r)
 Aplicação do conteúdo
1. Um cone reto tem 10 cm de altura e raio da base 
igual a 4 cm.
Calcule a:
a) medida da sua geratriz;
b) área lateral;
c) área total;
d) medida do ângulo do setor circular (Use p = 3,14)
Resolução:
Aplicando as fórmulas, temos:
a) g2 = 102 + 42 g = √
____
 116 = 10,8 cm
b) A
ø
= prg = 3,14 · 10,8 · 4 = 135,6
c) Ab = pr
2 = 3,14 · 42 = 50,24 cm2
At = Aø + Ab = 135,6 + 50,24 = 185,84 cm
2
d) Nesse caso, R = g = 10,8 cm e ø = 2p · 4 = 8p:
 a ____ 
360º
 = ø ____ 
2pR
 a ____ 
360º
 = 8p ________ 
2p · 10,8
 a = 8p · 360º ________ 
2p · 10,8
 
a = 133,3º = 133º 20’
Logo, a = 133º 20’
2. A geratriz de um cone reto mede 5 cm e o ângulo 
central do setor circular mede 72º. Calcule a área 
lateral do cone.
Resolução:
De acordo com os dados do problema, temos a = 72º (ân-
gulo central) e g = R = raio do setor circular = 5 cm. Então:
A𝓵
p · 52
 = 72 ___ 
360
 A
ø
 = p(5)2 · 72 ___ 
360
 = p · 25 · 1 __ 
5
 = 5p 
A
ø 
= 5 · 3,14 = 15,70 cm2
3. Dado um setor circular de comprimento L = 6 cm e 
ângulo central de 60°, calcule a medida da área lateral 
do cone formado a partir deste setor.
Resolução:
60º L
Como temos o comprimento do setor e o ângulo central 
podemos calcular o raio do setor:
L = 60º ____ 
360º
 2 r
6 = 1 __ 
6
 2 r
Logo, a área é dada por:
A = 60º ____ 
360º
 r2 = 1 __ 
6
 (182) = 54 cm2 
4. VOLUME DO CONE
Mais uma vez, usaremos o princípio de Cavalieri.
Consideramos um cone de altura H e base de área A con-
tida em um plano horizontal a.
Consideramos também uma pirâmide de altura H, base de 
área A, também contida em a.
Se um plano horizontal b com distância h dos vértices 
secciona os dois sólidos, determinandoregiões planas de 
áreas A1 e A2, temos:
 
A1 __ 
A
 = h
2
 __ 
H2
 e 
A2 __ 
A
 = h
2
 __ 
H2
 
A2 __ 
A
 = 
A1 __ 
A
 A1 = A2
103
Pelo princípio de Cavalieri, podemos afirmar que o cone e a 
pirâmide iniciais têm o mesmo volume. Como já sabemos 
o volume da pirâmide ( V = AbH3 ) , o volume do cone tam-
bém é o mesmo.
Vcone = 
área da base · altura ________________ 
3
 
Então, para um cone circular de raio r altura h, podemos 
dizer que:
V = 1 __ 
3
 Abh V= 
1 __ 
3
 pr2h
Observação
Lembrando a relação entre os volumes do prisma e 
da pirâmide de mesma altura e mesma área da base 
e usando o princípio de Cavalieri, podemos concluir:
O volume de um cone de mesma área da base e mesma 
altura de um cilindro é igual a 1 __ 
3
 do volume do cilindro.
Podemos comprovar isso experimentalmente: para 
encher de água uma vasilha em forma de cilindro, 
usando como medida um recipiente em forma de 
cone, de mesma área da base e mesma altura do cilin-
dro, será necessário usar o recipiente 3 vezes.
 Aplicação do conteúdo
1. Qual é o volume de um cone de raio 7 cm e altura 
12 cm?
Resolução:
V = 1 __ 
3
 pr2h = 1 __ 
3
 p · 72 . 12 = 196p = 615,44 cm3
O volume do cone é 615,44 cm3.
2. Em um cone reto, a geratriz mede 15 cm e o raio da 
base mede 9 cm. Calcule a altura e o volume do cone.
Resolução:
Pela figura, temos:
g2 = h2 + r2 152 = h2 + 92 h2 = 144 h = 12 cm
Vamos calcular o volume:
V = 1 __ 
3
 pr2h = 1 __ 
3
 p · (9)2 · 12 = 324p cm3
A altura do cone é 12 cm e o volume é 324p cm3.
3. Qual é a capacidade de uma casquinha de sorvete de 
forma cônica, cujo diâmetro é 6 cm e altura é 10 cm? 
(Use p = 3,14.)
 
104
Resolução:
Temos:
Diâmetro = 6 cm; raio = 3 cm; h = 10 cm
V = 1 __ 
3
 pr2h = 1 __ 
3
 p · 32 · 10 = 30p = 94,20 cm3
Como 1 cm3 = 1 mø, a capacidade do copinho é de 94,20 mø.
4. Um cone reto tem 15p cm2 de área lateral e 24p cm2 
de área total. Calcule o volume desse cone.
Sendo A
ø
 a área lateral e At a área total, temos:
Resolução:
A
ø
 = prg prg = 15p rg = 15 g = 15 ___ r (I)
At = pr(g + r) pr(g + r) = 24p (II)
Substituindo (I) em (II), temos:
pr ( 15 ___ r + r ) = 24p 15p + pr2 = 24p pr2 = 9p 
 r2 = 9 r = 3 cm
Se r = 3 cm, então g = 15 ___ r = 5 cm; daí:
g2 = h
2 + r2 52 = h2 + 32 h2 = 25 – 9 = 16 h 
= 4 cm
Vamos calcular o volume:
V = 1 __ 
3
 pr2h = 1 __ 
3
 p · (3)2 · 4 = 12p cm3
O volume do cone é 12p cm3.
5. TRONCO DE CONE RETO
Vamos considerar um cone circular reto de vértice V e al-
tura h e um plano a paralelo a base que secciona o cone, 
conforme a figura:
Nesse caso, obtemos dois sólidos; um cone de vértice V 
e altura d e outro sólido, chamado tronco do cone inicial:
No tronco do cone, destacamos:
 duas bases: a base maior (base do cone inicial) e a base 
menor (secção determinada por a);
 a altura (h1), que é a distância entre as bases (h1 = h – d);
 a geratriz, cuja medida (g1) é obtida pela diferença das 
medidas das geratrizes dos dois cones.
g1 = g – g2 em que g: geratriz do cone inicial e g2: geratriz 
do cone determinado por a.
Observação
O tronco de cone pode ser considerado de forma 
análoga ao tronco de pirâmide. Assim como acontece 
com as pirâmides, um plano paralelo à base que sec-
ciona o cone original, de forma que para os dois cones 
podem ser usadas todas as relações de semelhança: 
lineares, de área e de volume.
Assim:
 h __ 
d
 = 
r1 __ r2
 = 
g
 __ g2
 
 ( h __ d ) 
2
 = 
Ab __ 
AB
 
em que Ab é a área da base me-
nor e AB é a área da base maior
 ( h __ d ) 
3
 = V __ 
V2
 
em que V é o volume do cone inicial e V2 é 
o volume do cone determinado por 
105
6. VOLUME DO TRONCO DE CONE RETO
Vtronco = Vcone maior – Vcone menor 
Vtronco = 
1 __ 
3
 pR2h – 1 __ 
3
 r2d 
Vtronco = 
p __ 
3
 (R2h – r2d) = p __ 
3
 [R2h – r2(h – h1)] 
Vtronco = 
p __ 
3
 [R2h – r2h + r2h1] 
Vtronco = 
p __ 
3
 [(R2 – r2) h + r2h1] (I)
Analogamente ao tronco de pirâmide, calculando h em fun-
ção de h1, substituindo na fórmula (I) e simplificando temos:
Vtronco = 
ph1 ___ 
3
 (R2 + Rr + r2)
Assim como no caso do tronco de pirâmide, você poderá 
escolher entre calcular o volume do tronco do cone pela 
fórmula ou subtrair os volumes dos cones semelhantes (o 
original e menor).
 Aplicação do conteúdo
1. Os raios das bases de um tronco de cone são 3 m e 
2 m.
A altura do tronco é 6 m. Calcule o seu volume (Use p = 3,14.)
Resolução:
1ª maneira: 
Usando a fórmula
V = ph ___ 
3
 (R2 + Rr + r2) = 6p ___ 
3
 (32 + 3 · 2 + 22) 
V = 38p = 119,32 cm3
2ª maneira: Sem o uso da fórmula
Seja x + 6 a altura do cone que deu origem ao tronco de 
cone do exercício:
Usando semelhança, podemos escrever:
 x _____ 
x + 6
 = 2 __ 
3
 3x = 2x + 12 x = 12
Podemos calcular o volume do tronco assim:
Vtronco = Vcone maior – Vcone menor 
Vtronco = 
1 __ 
3
 p · 9 . 18 – 1 __ 
3
 p · 4 · 12 
Vtronco = 54p – 16p = 38p = 119,32 cm
3
O volume do tronco de cone é de 119,32 cm3.
2. Uma vasilha tem a forma de um tronco de cone. Suas 
dimensões estão indicadas na figura. Qual é o volume 
máximo de água que a vasilha pode conter, em litros? 
(Use p = 3,14)
106
Resolução:
R = 40 cm; r = 20 cm; h = 30 cm
V = hp ___ 
3
 (R2 +Rr + r2) 
V = 30p ____ 
3
 (402 + 40 · 20 + 202) = 10p (2800) 
V = 28000p = 87920 cm3 = 87.920 dm3
Como 1 dm3 = 1ø, temos V = 87,92ø.
3. A figura mostra um tronco de cone. Os raios das bases 
são r1 e r2. Sendo g1 a geratriz do tronco, mostre que a 
área lateral do tronco é dada por A
ø
 = pg1 (r1 + r2).
Resolução:
Planificando a superfície lateral do tronco de cone, temos:
2 r1
2 r2
Aℓ
g1
g2 g
A1 = área lateral do cone maior = pr1g
A2 = área lateral do cone menor = pr2g2
A
ø
 = área lateral do tronco = A1 – A2
A
ø
 = A1 – A2 = pr1g1 – pr2g2 = p(r1g – r2g2) (I)
Considerando a figura original, temos:
 
g
 __ g2
 = 
r1 __ r2
 
 
g – g2 _____ g = 
r1 – r2 _____ r1 
 
g1 __ g = 
r1 – r2 _____ r1
 g = 
r1g1 _____ r1 – r2
 (II)
 
g – g2 _____ g2
 = 
r1 – r2 _____ 
r2
 
g1 __ g2
 
r1 – r2 _____ r2
 g2 = 
r2g1 _____ r1 – r2
 (III)
Substituindo (II) e (III) em (I), temos:
A
ø = p (r1g – r2g2) = p ( r1 · r1g1 _____ r1 – r2 – r2 · r2g1 _____ r1 – r2 ) 
A
ø
 = pg1 ( r 
2 1 – r 2 1 _____ r1 – r2
 ) = pg1 (r1 + r2)(r1 – r2) ___________ r1 – r2 
A
ø
 = pg1 (r1 + r2) 
107
Modelo
(Enem) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais.
DISPONÍVEL EM: HTTP://MDMAT.PSICO.UFRGS.BR. ACESSO EM: 1 MAIO 2010. 
Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de:
a) pirâmide.
b) semiesfera.
c) cilindro.
d) tronco de cone.
e) cone.
Análise expositiva - Habilidade 7: Nessa questão, é necessário que o aluno saiba identificar os diferentes 
tipos de sólido geométrico e conhecer suas características e propriedades.
A expressão superfície de revolução garante que a figura represente a superfície lateral de um cone.
Alternativa E
E
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
Habilidade
A habilidade 7 exige que o aluno consiga utilizar seus conhecimentos geométricos para realizar a leitura e a repre-
sentação da realidade e agir sobre ela.
Identificar características de figuras planas ou espaciais.7
108
h1
h
d
r
R
=h
Vmaior
d Vmenor
Vtronco= (R
2 + Rr + r2)π h1
3
V= Ab · h
3
V= πR
2h
3
Al = π R g
Ab = πR
2
At = πR (g + R)
h ALTURA
R RAIO DA BASE
g GERATRIZ
g2 = h2 + R2
CONE RETO
CONE
ELEMENTOS VOLUMEÁREA TRONCO
h
g
R
 DIAGRAMA DE IDEIAS