Divisão Proporcional na Matemática

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Divisão Proporcional – Teoria
MATEMÁTICA
DIVISÃO PROPORCIONAL – TEORIA
NÚMEROS PROPORCIONAIS
NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
A = (a1, a2, a3, a4, ..., an) 
B = (b1, b2, b3, b4, ..., bn) 
a1 = a2 = a3 = a4 = ... = an/bn = constante 
b1 b2 b3 b4
Por exemplo:
A = (50, 60, 70)
B = (5, 6, 7)
A sequência numérica pode ser diretamente proporcional ou inversamente proporcional.
Uma sequência é formada por números diretamente proporcionais quando a divi-
são entre os respectivos elementos permanece constante.
Por exemplo, considere duas sequências: a sequência A e a sequência B. Os elementos 
da sequência A são a1, a2, a3 e assim por diante. Os elementos da sequência B são b1, b2, 
b3 e assim por diante. Quando se divide a1 por b1, o resultado será o mesmo que a2 por b2, 
que será o mesmo que a3 por b3, e assim sucessivamente até an por bn. Esse resultado é 
constante, mantendo sempre o mesmo valor.
Por exemplo:
50 = 60 = 70 = 10
 5 6 7
O número 10 é denominado fator de proporcionalidade.
Uma sequência é formada por números diretamente proporcionais quando a divisão 
entre os respectivos elementos permanece constante. Essa constante é denominada 
fator de proporcionalidade. Quando duas sequências são diretamente proporcionais, à 
medida que uma sequência aumenta, a outra também aumenta, seguindo na mesma 
direção. Por essa razão, são denominadas diretamente proporcionais. 
NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
A = (a1, a2 a3, a4, ..., an) 
B = (b1, b2, b3, b4, ..., bn) 
a1 • b1 = a2 • b2 = a3 • b3 = ... = an • bn = constante 
Por exemplo:
A = (16, 10, 5)
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MATEMÁTICA
B = (5, 8, 16)
Os números inversamente proporcionais relacionam-se à multiplicação, pois o inverso 
da divisão é a multiplicação.
Considera-se duas sequências, A e B. Os elementos da sequência A são a1, a2, a3 e assim 
por diante. Os elementos da sequência B são b1, b2, b3 e assim por diante. As sequências 
são inversamente proporcionais quando a multiplicação entre os respectivos elementos 
permanece constante. Assim, a multiplicação de a1 por b1 será igual à multiplicação de a2 
por b2, que também será igual à multiplicação de a3 por b3 e assim sucessivamente, até 
an por bn.
As sequências são inversamente proporcionais quando a multiplicação entre os res-
pectivos elementos é constante. Ao referir-se aos respectivos elementos, significa que 
a multiplicação do primeiro elemento da primeira sequência pelo primeiro elemento da 
segunda sequência é igual à multiplicação do segundo elemento da primeira sequência 
pelo segundo elemento da segunda sequência, e assim por diante.
Por exemplo:
16 • 5 = 10 • 8 = 5 • 16 = 80
A multiplicação permaneceu constante, portanto, são números inversamente proporcionais.
A = (16, 10, 5)
B = (5, 8, 16)
Nota-se que na sequência A os números estão diminuindo, enquanto na sequência B 
os números estão aumentando.
Quando a multiplicação é constante, os números são inversamente proporcionais. 
Quando a divisão é constante, são diretamente proporcionais.
Para verificar se duas sequências são diretamente ou inversamente proporcio-
nais, realiza-se a divisão entre os respectivos elementos. Se o resultado for constante, 
as sequências são diretamente proporcionais, ou seja, à medida que uma sequência 
aumenta, a outra também aumenta, e se uma diminui, a outra também diminui.
Por outro lado, as sequências são inversamente proporcionais quando a multiplica-
ção entre os respectivos elementos permanece constante. Nesse caso, à medida que 
uma sequência aumenta, a outra diminui, e se uma diminui, a outra aumenta.
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DIVISÃO PROPORCIONAL
DIRETAMENTE PROPORCIONAL
EXEMPLO 01
A quantia de R$ 9.000 será distribuída entre os três times de forma proporcional ao número 
de gols que cada time fez. A quantia recebida por cada time será: 
A distribuição seria de 3 mil para cada, caso não houvesse uma restrição. A restrição ocorre 
devido ao fato de que a quantia será distribuída de forma proporcional ao número de gols 
que cada time fez. Ou seja, o time que marcou a maior quantidade de gols receberá um 
valor maior. Trata-se de números diretamente proporcionais.
D. P. (A2, B3, G5)
A + B + G = 9000 
2P + 3P + 5P = 9000
10P = 9000
P = 9000
 10
Para facilitar a conta, cortam-se os zeros.
P = 900
O número 900 encontrado equivale ao valor recebido por cada gol.
ALFA = 2 partes = 2 • 900 = R$ 1.800
BETA = 3 partes = 3 • 900 = R$ 2.700
GAMA = 5 partes = 5 • 900 = R$ 4.500 
Dividindo o número ganho pelo número de gols, obtém-se o valor de 900:
1800 = 2700 = 4500 = 900
 2 3 5
A divisão é constante, portanto essas duas séries são formadas por números diretamente proporcionais.
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EXEMPLO 02
Uma herança de 26 casas idênticas foi repartida entre três pessoas de forma diretamente 
proporcional às suas idades, que são 9, 12 e 18 anos. Quantas casas cada um recebeu?
D. P. (X9, Y12, G18)
X + Y + Z = 26
9P + 12P + 18P = 26
39P = 26
P = 26
 39
26 dividido por 39 resultará em um número decimal. Para facilitar o cálculo, é ensinado um 
método pelo professor: identifica-se o maior número que divide simultaneamente 9, 12 e 
18. O número 3 é divisível por estes números.
D. P. (X9, Y12, G18) ÷ 3
D. P. (X3, Y4, G6)
Agora, trabalha-se somente com os números 3, 4 e 6.
X + Y + Z = 26
3P + 4P + 6P = 26
13P = 26
P = 26
 13
P = 2
X = 3P = 3 • 2 = 6
Y = 4P = 4 • 2 = 8
Z = 6P = 6 • 2 = 12
Logo, a quantidade de casas a serem distribuídas entre as pessoas é 6, 8 e 12.
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INVERSAMENTE PROPORCIONAL
EXEMPLO 03
Uma professora resolveu distribuir 310 bolinhas entre os alunos de forma inversa ao número 
de faltas de cada aluno. 
A distribuição seria de 310 bolinhas entre 3 alunos, porém a questão apresenta um critério 
de que as bolinhas serão distribuídas de forma inversa ao número de faltas de cada aluno.
Inversamente proporcional:
(A2, B3, C5)
Percebe-se que a situação está invertida. Para reverter essa situação e torná-la direta, 
basta realizar a inversão. Ao fazer isso, a relação deixa de ser inversa e passa a ser direta.
I. P. (A 2 , B 3 , C 5)
 1 1 1
Para inverter, é só trocar os números de cima pelos de baixo:
D. P. (1 , 1 , 1)
 2 3 5
Agora, utiliza-se somente os números diretamente proporcionais.
Sempre que se deparar com números inversamente proporcionais, é necessário realizar a 
inversão para convertê-los em diretamente proporcionais.
No caso de frações, para igualar os denominadores, deve-se calcular o mínimo comum 
entre 2, 3 e 5.
2,3,5 2
1,3,5 3
1,1,5 5 
1,1,1 30
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MATEMÁTICA
Após dividir os números, realiza-se a operação de multiplicação, obtendo 30 como resultado.
D. P. (1 , 1 , 1)
 2 3 5
D. P. ( , , )
 30 30 30
Agora, divide-se o número 30 pelos números de baixo (2, 3 e 5) e multiplica-se pelos números 
de cima (1, 1 e 1).
D. P. ( 15 , 10 , 6 )
 30 30 30
Para facilitar a conta, cortam-se os números de baixo. Neste caso, o número 30.
Obtém-se:
D. P. (A 15 , B 10 , C 6)
A + B + C = 310
15P + 10P + 6P = 310 
31P = 310
P = 310
 31 
P = 10
A = 15P = 15 • 10 = 150
B = 10P = 10 • 10 = 100
C = 6P = 6 • 10 = 60
Logo, a quantidade de bolinhas a serem distribuídas entre os alunos é 150, 100 e 60. 
Outra forma de se calcular:
I. P. (2, 3, 5)
O primeiro número, neste caso o 2, é ocultado, e os números 3 e 5 são multiplicados, obtendo-
se 15. Em seguida, o número 3 é ocultado eos números 2 e 5 são multiplicados, resultando 
em 10. Oculta-se então o número 5, multiplicando-se 2 e 3 para obter o resultado 6.
I. P. (15, 10, 6)
DIVISÃO MISTA
EXEMPLO 04
Dividir o número 290 em três partes – A, B e C – que sejam diretamente proporcionais a 12, 
18 e 24 e inversamente a 1, 2, 3. Qual é o valor de cada parte?
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MATEMÁTICA
D. P. (A12, B18, C24)
Para facilitar, divide-se os números por 6:
D. P. (A2, B3, C4)
I. P. (1, 2, 3)
A divisão mista pode ser diretamente e inversamente proporcional ao mesmo tempo, ou 
apenas diretamente, ou apenas inversamente. O enunciado sempre apresentará mais de 
uma maneira de realizar a divisão. O procedimento correto é sempre converter a forma 
inversa em direta.
Para realizar a conversão, oculta-se o primeiro número, que neste caso é o 1, e multiplicam-
se os números 2 e 3. Em seguida, oculta-se o 2 e multiplicam-se os números 1 e 3. Por fim, 
oculta-se o 3 e multiplicam-se os números 1 e 2. O resultado obtido é:
D. P. (6, 3, 2)
Agora que as duas sequências estão diretamente proporcionais, realiza-se a multiplicação:
D. P. (2, 3, 4)
D. P. (6, 3, 2)
D. P. (12, 9, 8) 
3 • 3 = 9
2 • 4 = 8
D. P. (12, 9, 8)
A + B + C = 290
12P + 9P + 8P = 290
29P = 290
P = 290
 10
A = 12P = 12 • 10 = 120
B = 9P = 9 • 10 = 90
C = 8P = 8 • 10 = 80
Logo, o valor de cada parte equivale a 120, 90 e 80.
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�Este material foi elaborado pela equipe pedagógica do Gran Concursos, de acordo com a aula pre-
parada e ministrada pelo professor Marcelo Leite do Nascimento. 
A presente degravação tem como objetivo auxiliar no acompanhamento e na revisão do conteúdo 
ministrado na videoaula. Não recomendamos a substituição do estudo em vídeo pela leitura exclu-
siva deste material.